[论文解读] Nonparametric estimation of the division rate of an age dependent branching process

Marc Hoffmann, A. Olivier|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 35

一句话总结

该论文为超临界Bellman-Harris分支过程中依赖于年龄的分裂率 $ B(x) $ 提出了一种非参数核估计方法，其中粒子按依赖于年龄的速率老化并分裂。在遍历性条件下，该估计器达到了最优极小极大率 $ \exp\left(-\lambda_B \frac{\beta}{2\beta+1} T\right) $，其中 $ \lambda_B $ 为Malthus参数，$ \beta $ 为 $ B(x) $ 的光滑性参数，并表明仅观察时间 $ T $ 时存活的粒子不足以实现最优估计，这是由于偏差和选择效应所致。

ABSTRACT

We study the nonparametric estimation of the branching rate $B(x)$ of a supercritical Bellman-Harris population: a particle with age $x$ has a random lifetime governed by $B(x)$; at its death time, it gives rise to $k \\geq 2$ children with lifetimes governed by the same division rate and so on. We observe in continuous time the process over $[0,T]$. Asymptotics are taken as $T \ ightarrow \\infty$; the data are stochastically dependent and one has to face simultaneously censoring, bias selection and non-ancillarity of the number of observations. In this setting, under appropriate ergodicity properties, we construct a kernel-based estimator of $B(x)$ that achieves the rate of convergence $\\exp(-\\lambda_B \\frac{\\beta}{2\\beta+1}T)$, where $\\lambda_B$ is the Malthus parameter and $\\beta >0$ is the smoothness of the function $B(x)$ in a vicinity of $x$. We prove that this rate is optimal in a minimax sense and we relate it explicitly to classical nonparametric models such as density estimation observed on an appropriate (parameter dependent) scale. We also shed some light on the fact that estimation with kernel estimators based on data alive at time $T$ only is not sufficient to obtain optimal rates of convergence, a phenomenon which is specific to nonparametric estimation and that has been observed in other related growth-fragmentation models.

研究动机与目标

• 为粒子分裂率依赖于年龄的分支过程中的 $ B(x) $ 构建非参数估计器，其中分裂率取决于粒子年龄。
• 解决在连续时间观测过程至时间 $ T $ 时的随机依赖性、右删失（未观测到的死亡）和选择偏差的挑战。
• 在 $ B $ 的光滑性假设下，建立估计 $ B(x) $ 的极小极大最优收敛速率。
• 证明仅基于时间 $ T $ 时存活粒子的标准估计器无法达到最优速率，这是由于观测方案中固有的选择偏差。

提出的方法

• 基于过程 $ X(t) $，$ t \in [0,T] $ 的完整历史（包括死亡和时间 $ T $ 时存活的粒子），构建 $ B(x) $ 的核估计器。
• 通过利用分支性质和鞅技术，推导偏差和方差界，从而处理分支过程中的随机依赖性。
• 渐近分析依赖于Malthus参数 $ \lambda_B $ 和 $ B(x) $ 的光滑性 $ \beta $，其中速率取决于 $ \lambda_B \frac{\beta}{2\beta+1} $。
• 通过时间变换过程和耦合论证，控制在 $ H_B $-变换下的过程行为，从而推导出矩界。
• 最优性证明涉及通过参数依赖的时间尺度将速率与经典非参数模型关联，表明其等价于在变换域上的密度估计。
• 分析中对生存偏差进行了细致处理，通过区分在 $ T $ 前死亡的粒子和在 $ T $ 时仍存活的粒子，表明两者均对最优估计有贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间观测下，超临界Bellman-Harris过程中非参数估计分裂率 $ B(x) $ 的最优收敛速率是什么？
• RQ2 由于仅观测到时间 $ T $ 时存活的粒子，右删失和选择偏差的存在如何影响可实现的估计速率？
• RQ3 在具有依赖性、非i.i.d.的设定下，基于核的估计器能否实现极小极大最优速率？其对 $ B(x) $ 的必要条件是什么？
• RQ4 即使只有时间 $ T $ 时存活的粒子被完全观测到，为何仅基于这些粒子进行估计仍不充分？

主要发现

• 所提出的核估计器实现了极小极大最优收敛速率 $ \exp\left(-\lambda_B \frac{2\beta}{2\beta+1} T\right) $，其中 $ \lambda_B $ 为Malthus参数，$ \beta > 0 $ 为 $ B(x) $ 的光滑性指数。
• 该速率在极小极大意义下被证明是最优的，即在相同光滑性和遍历性假设下，任何其他估计器都无法实现更快的收敛速率。
• 该速率明确关联于经典非参数模型：其对应于依赖于参数 $ \lambda_B $ 的时间尺度上的密度估计，反映了由Malthusian鞅诱导的时间变换。
• 仅基于时间 $ T $ 时存活粒子的估计无法达到最优速率，这是分支过程中非参数估计特有的选择偏差现象。
• 证明依赖于在 $ H_B $-变换下对过程的耦合论证和矩界，从而控制估计器的偏差和方差。
• 分析表明，观测到的事件数（死亡数）是非辅助统计量，必须在估计过程中予以考虑，这与i.i.d.设定不同。