[论文解读] Nonparametric Estimation of Truncated Conditional Expectation Functions

Tomasz Olma|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2021

Statistical Methods and Inference被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的两阶段非参数估计量，用于截断条件期望函数，对第一阶段条件分位数函数估计误差具有鲁棒性。通过在第二阶段使用Neyman正交矩条件，该方法确保可直接应用标准非参数推断工具，即使截断分位数是从数据中估计得到的，也能实现有效的渐近推断。

ABSTRACT

Truncated conditional expectation functions are objects of interest in a wide range of economic applications, including income inequality measurement, financial risk management, and impact evaluation. They typically involve truncating the outcome variable above or below certain quantiles of its conditional distribution. In this paper, based on local linear methods, a novel, two-stage, nonparametric estimator of such functions is proposed. In this estimation problem, the conditional quantile function is a nuisance parameter that has to be estimated in the first stage. The proposed estimator is insensitive to the first-stage estimation error owing to the use of a Neyman-orthogonal moment in the second stage. This construction ensures that inference methods developed for the standard nonparametric regression can be readily adapted to conduct inference on truncated conditional expectations. As an extension, estimation with an estimated truncation quantile level is considered. The proposed estimator is applied in two empirical settings: sharp regression discontinuity designs with a manipulated running variable and randomized experiments with sample selection.

研究动机与目标

• 开发一种用于截断条件期望的非参数估计量，即使在估计条件分位数函数存在误差时仍保持有效。
• 解决截断点依赖于给定协变量下结果的条件分布时，非参数模型中的推断挑战。
• 将该方法扩展至截断分位数水平为估计值的情形，特别是在回归不连续性和样本选择情境中。
• 确保在考虑第一阶段估计误差后，标准非参数推断程序（如偏差校正和方差估计）仍可适用。
• 为不平等测度、风险管理以及协变量依赖截断下的影响评估等实证应用提供实用框架。

提出的方法

• 该估计量采用两阶段局部线性方法：首先，使用核方法非参数地估计条件分位数函数 $ Q(\theta, x) $。
• 在第二阶段，构建一个Neyman正交矩条件，以估计截断条件期望 $ m(\theta, x) = \mathbb{E}[Y \mid Y \leq Q(\theta, X), X = x] $，从而确保对第一阶段误差的鲁棒性。
• 关键矩条件源自恒等式 $ m(\theta, x) = \frac{1}{\theta} \mathbb{E}[Y \mathbf{1}\{Y \leq Q(\theta, X)\} - Q(\theta, X)(\mathbf{1}\{Y \leq Q(\theta, X)\} - \theta) \mid X = x] $，该恒等式对扰动参数 $ Q(\theta, \cdot) $ 正交。
• 最终估计量通过在包含Neyman正交矩的变换结果上进行局部线性回归获得，使用以协变量点 $ x_0 $ 为中心的核加权方案。
• 通过确保估计量具有规则的渐近线性表示，该方法允许使用标准推断程序（如偏差校正置信区间）。
• 该方法被扩展至截断水平为估计值的情形，包括运行变量被操纵的精确回归不连续性以及存在样本选择的随机化实验。

实验结果

研究问题

• RQ1 当截断点为必须从数据中估计的条件分位数函数时，如何一致地估计截断条件期望？
• RQ2 何种估计量结构可确保条件分位数的第一阶段估计误差不影响截断期望估计量的渐近分布？
• RQ3 在Neyman正交矩条件下，标准非参数推断方法能否直接应用于截断条件期望？
• RQ4 在截断为内生的情形（如运行变量被操纵的回归不连续性）下，该方法表现如何？
• RQ5 当截断分位数为估计值而非已知值时，估计量的有限样本性质和渐近分布行为如何？

主要发现

• 所提出的两阶段估计量实现了渐近正态性并具有规则的渐近线性表示，从而可直接应用标准非参数推断工具。
• Neyman正交矩条件确保了估计量的影响函数对条件分位数函数第一阶段估计误差不敏感。
• 估计量的渐近偏差为 $ O(h^2 + (nh)^{-1/2}) $ 阶，其中 $ h $ 为带宽，$ n $ 为样本量。
• 估计量的渐近方差取决于Neyman正交矩的条件方差以及分位数和期望函数的曲率。
• 在截断分位数水平为估计值的情况下，推导出平均处理效应边界联合渐近分布，表明在正则条件下估计量仍保持渐近正态性。
• 该方法在两个实证情境中得到验证：运行变量被操纵的精确回归不连续性以及存在样本选择的随机化实验，显示出其鲁棒性和实际应用价值。