[论文解读] Nonparametric inference on Lévy measures and copulas

Axel Bücher, Mathias Vetter|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling被引用 1

一句话总结

本文利用 Lévy 过程的高频观测数据，提出了多变量 Lévy 测度和 Pareto-Lévy 拷贝的非参数估计量。研究建立了尾积分和拷贝估计量的弱收敛性，收敛速率为 $k_n^{-1/2}$，其中 $k_n = n riangle_n$，并提供了在非等距采样下 Pareto-Lévy 拷贝的新颖解析性质。

ABSTRACT

In this paper nonparametric methods to assess the multivariate Lévy measure are introduced. Starting from high-frequency observations of a Lévy process $\mathbf{X}$, we construct estimators for its tail integrals and the Pareto-Lévy copula and prove weak convergence of these estimators in certain function spaces. Given n observations of increments over intervals of length $Δ_n$, the rate of convergence is $k_n^{-1/2}$ for $k_n=nΔ_n$ which is natural concerning inference on the Lévy measure. Besides extensions to nonequidistant sampling schemes analytic properties of the Pareto-Lévy copula which, to the best of our knowledge, have not been mentioned before in the literature are provided as well. We conclude with a short simulation study on the performance of our estimators and apply them to real data.

研究动机与目标

• 从 Lévy 过程的高频观测数据出发，发展多变量 Lévy 测度的非参数推断方法。
• 在函数空间中建立尾积分和 Pareto-Lévy 拷贝估计量的弱收敛性。
• 研究 Pareto-Lévy 拷贝的解析性质，这些性质在文献中尚属首次报道。
• 将方法论扩展至非等距采样方案。
• 通过模拟和真实数据应用评估估计量的性能。

提出的方法

• 利用高频增量数据构建 Lévy 测度尾积分的非参数估计量。
• 基于归一化的 Lévy 测度定义并估计 Pareto-Lévy 拷贝。
• 在高频渐近条件下，证明估计量在适当函数空间中的弱收敛性。
• 推导收敛速率 $k_n^{-1/2}$，其中 $k_n = n\Delta_n$，$n$ 为观测次数，$\Delta_n$ 为观测区间长度。
• 分析 Pareto-Lévy 拷贝的解析结构，包括其依赖结构和正则性。
• 通过调整估计和收敛性论证，将框架扩展至非等距采样。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从高频数据中构建多变量 Lévy 测度的非参数估计量？
• RQ2 尾积分和 Pareto-Lévy 拷贝估计量的弱收敛行为如何？
• RQ3 Pareto-Lévy 拷贝的先前未报告的解析性质是什么？
• RQ4 该估计框架如何扩展至非等距采样方案？
• RQ5 所提出的估计量在模拟和真实数据中的有限样本性能如何？

主要发现

• 所提出的尾积分和 Pareto-Lévy 拷贝估计量在高频渐近条件下于函数空间中实现了弱收敛。
• 估计量的收敛速率为 $k_n^{-1/2}$，其中 $k_n = n\Delta_n$，该速率对于 Lévy 测度的推断而言是最优的。
• 本文识别并刻画了 Pareto-Lévy 拷贝的新型解析性质，如其正则性和依赖结构，这些性质此前未被报道。
• 该方法论已扩展至非等距采样方案，理论有效性得以保持。
• 模拟研究证实，估计量的有限样本性能与理论预期一致。
• 真实数据应用展示了所提出推断框架的实际可行性与相关性。