[论文解读] Nonparametric Multiple-Output Center-Outward Quantile Regression

Eustasio del Barrio, Alberto González-Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Statistical Methods and Inference被引用 8

一句话总结

本文提出一种基于最优传输理论的中心向外分位数的非参数多输出分位数回归方法，实现了条件分位数区域与轮廓的一致估计，并控制概率含量。该方法构建了嵌套的、可解释的经验管状区域，在庞佩乌-豪斯多夫拓扑下收敛于其总体对应物，克服了传统基于深度的方法在多元分位数回归中的局限性。

ABSTRACT

Based on the novel concept of multivariate center-outward quantiles introduced recently in Chernozhukov et al. (2017) and Hallin et al. (2021), we are considering the problem of nonparametric multiple-output quantile regression. Our approach defines nested conditional center-outward quantile regression contours and regions with given conditional probability content irrespective of the underlying distribution; their graphs constitute nested center-outward quantile regression tubes. Empirical counterparts of these concepts are constructed, yielding interpretable empirical regions and contours which are shown to consistently reconstruct their population versions in the Pompeiu-Hausdorff topology. Our method is entirely non-parametric and performs well in simulations including heteroskedasticity and nonlinear trends; its power as a data-analytic tool is illustrated on some real datasets.

研究动机与目标

• 解决现有基于深度或方向的分位数方法中缺乏一致、分布无关的多元分位数概念，且无法保持可控概率含量这一关键缺陷。
• 开发一个完全非参数的多输出分位数回归框架，保留单变量分位数的核心特性：无论底层分布如何，条件概率含量保持固定。
• 利用基于最优传输的中心向外排序，为给定协变量的多元响应构建可解释的嵌套条件分位数区域与轮廓。
• 确保在庞佩乌-豪斯多夫拓扑下经验估计的一致性，保证总体分位数结构的可靠重构。
• 提供一种稳健、无偏的替代参数或半参数模型的方法，尤其适用于异方差性或非线性依赖结构的情形。

提出的方法

• 利用通过从单位球面上的均匀分布到给定协变量下响应变量条件分布的最优传输映射定义的中心向外分位数。
• 定义具有预设概率含量（例如 τ = 0.2, 0.4, 0.8）的嵌套条件分位数区域与轮廓，且对底层分布形状不变。
• 使用从数据中构建的中心向外分位数的经验对应物，通过半离散最优传输将经验测度映射到单位球面。
• 利用庞佩乌-豪斯多夫距离建立经验分位数区域与轮廓在样本量增加时收敛于其总体版本的一致性。
• 将该方法应用于真实数据集与模拟数据，证明其在异方差性和非线性趋势下具有鲁棒性，且无需假设参数形式。
• 通过依赖中心向外分位数的内在几何结构，避免了如许多现有最优传输估计器所依赖的紧支集或有界密度等限制性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个完全非参数的多元分位数回归框架，使其在任意分布下均保持固定的条件概率含量？
• RQ2 如何将基于最优传输的中心向外分位数适配到具有多个输出和协变量的条件回归设置中？
• RQ3 经验中心向外分位数区域与轮廓在庞佩乌-豪斯多夫拓扑下，对总体对应物的一致性程度如何？
• RQ4 该方法在真实世界数据中是否能在概率含量控制与可解释性方面优于基于深度或方向的分位数方法？
• RQ5 该方法在异方差性和非线性依赖结构下，其有限样本性能与鲁棒性如何？

主要发现

• 所提出的方法构建的条件分位数区域与轮廓，无论底层分布如何，均能精确控制概率含量（例如 20%、40%、80%），满足单变量分位数的根本特性。
• 随着样本量增加，经验中心向外分位数区域与轮廓在庞佩乌-豪斯多夫拓扑下以几乎必然的方式收敛于其总体对应物。
• 模拟结果表明，该方法在异方差性和非线性趋势下表现良好，优于传统的基于深度或方向的分位数方法。
• 该方法为完全非参数方法，无需强参数假设或对底层分布的支撑集施加限制性条件。
• 在 ANSUR 2 数据集的真实数据应用中，展示了对多元分位数区域（如身高为协变量时，足长与胫骨高度的回归）的可解释且有意义的投影。
• 通过聚焦于条件传输映射，避免了完整半离散最优传输的计算不可行性，即使在中等维度下也保持了计算可行性。