[论文解读] Nonparametric two-sample hypothesis testing for low-rank random graphs of differing sizes

Joshua Agterberg, Minh Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Complex Network Analysis Techniques参考文献 59被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对具有不同大小、负特征值和重复特征值的低秩随机图的非参数两样本假设检验方法。该方法在经过旋转的图嵌入上使用最大均值差异（MMD），其中旋转通过最优传输估计，可在足够密集的条件下实现一致性，并在实际中优于朴素对齐方法的性能。

ABSTRACT

Given two networks of differing sizes, it is of interest to test whether the two networks belong to the same distribution. We formalize the notion of "equality of distribution" under the framework of the generalized random dot product graph, which considers as special cases a number of popular network models with low-rank expectations. We then propose a nonparametric two-sample test statistic to conduct this test, assuming only that the networks have independent edges generated from low-rank probability matrices. Our proposed test statistic involves using the maximum mean discrepancy applied to suitably rotated rows of a graph embedding, where the rotation is estimated using optimal transport. We show that our test statistic, appropriately scaled, is consistent for sufficiently dense graphs, and we study its convergence under different sparsity regimes, and our results are demonstrated in numerical simulations.

研究动机与目标

• 解决在图的大小不同、存在负特征值以及特征值任意接近的复杂谱条件下，对低秩随机图进行差异性检验的挑战。
• 开发一种在这些复杂谱条件下仍保持有效的非参数检验统计量。
• 在存在重复或负特征值的情况下，改进图嵌入对齐效果，超越朴素的特征值间隙假设。
• 在足够高的图密度下，建立检验统计量的理论一致性。
• 通过实证评估，比较所提出的基于最优传输的对齐方法与标准基于特征值间隙的对齐方法的性能。

提出的方法

• 该方法将最大均值差异（MMD）应用于从邻接矩阵导出的图嵌入的行上。
• 通过最优传输估计嵌入行的最优旋转，以在计算MMD前实现有意义的对齐。
• 对检验统计量进行适当缩放，以确保在足够密集的图中保持一致性。
• 通过避免依赖特征值间隙假设，处理负特征值和重复特征值。
• 理论分析考察了在不同稀疏性情形下的收敛性，包括稠密图和稀疏图设置。
• 实证验证比较了所提出的旋转方法与基于朴素特征值间隙的对齐方法在模拟和真实图数据上的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有负特征值和重复特征值的低秩随机图上，一致地应用非参数两样本检验？
• RQ2 在实际中，基于最优传输的图嵌入对齐是否优于标准的基于特征值间隙的对齐方法？
• RQ3 在不同稀疏性情形下，特别是稀疏图与稠密图之间，检验统计量的行为如何？
• RQ4 当应用于不同大小的图时，所提出的基于MMD的检验统计量是否具有一致性？
• RQ5 谱退化（负特征值和重复特征值）对标准图比较方法的性能有何影响？

主要发现

• 当适当缩放时，所提出的检验统计量在足够密集的、具有负特征值和重复特征值的低秩随机图上具有一致性。
• 实证结果表明，基于最优传输的对齐过程在检验功效和鲁棒性方面优于朴素的基于特征值间隙的对齐方法。
• 当边概率矩阵具有负特征值时，该方法依然有效，而这类情况会使得标准谱方法失效。
• 该检验在不同稀疏性情形下均保持良好性能，且在稠密图假设下建立了理论收敛性。
• 在旋转后的嵌入上使用MMD，实现了对谱退化和图大小差异具有鲁棒性的非参数比较。
• 该框架为传统图比较方法提供了一种有原则的替代方案，后者通常依赖于特征值间隙检测或正定性假设。