[论文解读] Nonpositively curved manifolds containing a prescribed nonpositively curved hypersurface

T. Tâm Nguyễn Phan|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文构建了一个闭的、非正曲率的 (n+1) 维流形，其几何秩为 1，且包含任意给定的闭的、非正曲率的 n 维流形作为全测地子流形。通过使用截断光滑双曲化和具有凸翘曲函数的扭曲积度量，作者在保持非正曲率的同时，等距地嵌入原始流形，且确保所得流形不是积流形。

ABSTRACT

We use pinched smooth hyperbolization to show that every closed, nonpositively curved $n$-dimensional manifold $M$ can be embedded as a totally geodesic submanifold of a closed, nonpositively curved $(n+1)$-dimensional manifold $\hat{M}$ of geometric rank one.

研究动机与目标

• 回答拉尔夫·施帕策关于闭的、非正曲率的 n 维流形是否能等距嵌入到更高维、几何秩为 1 的非正曲率流形中的问题。
• 构建一个闭的 (n+1) 维流形，其截面曲率 ≤ 0 且几何秩为 1，使其包含原始 n 维流形作为全测地子流形。
• 通过构造使几何秩为 1，确保所得流形不是积流形。
• 在粘合位置的度量平滑过程中保持非正曲率。
• 在原始流形的 Whitehead 群为平凡的条件下建立构造，此条件由其非正曲率保证。

提出的方法

• 对原始流形 M 进行光滑三角剖分，并将其扩展到 M×[0,1]，然后对边界进行锥化，形成具有单个奇点的单纯复形 X。
• 对 X 应用严格双曲化，得到 h(X)，一个具有一个奇点的流形，确保双曲化块具有足够的宽度以实现截断光滑双曲化。
• 移除奇点得到 W = h(X)\{h(*)}，一个非紧流形，其两个端口同胚于 M×(0,∞)。
• 在 W 上赋予一个负曲率度量 g，使得每个端口等距同构于 M×(a,∞)，其中度量为 dt² + e⁻²ᵗgₘ，且 a < -1。
• 在 t=0 处截断 W，并将两个边界分量粘合，形成一个闭流形 Ŵ，其度量 g̅ 在 (-1,1)×M 上为扭曲积 dt² + e⁻²|ᵗ|gₘ。
• 使用在 t=0 附近最小化、在 0 的邻域外与 e⁻²|ᵗ| 一致的凸、光滑、偶函数 φ(t) 对翘曲函数 e⁻²|ᵗ| 在 t=0 处进行光滑化，通过 Bishop-O'Neill 公式保持非正曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个闭的、非正曲率的 n 维流形是否都能等距嵌入到一个闭的、非正曲率的 (n+1) 维流形中，且该流形的几何秩为 1？
• RQ2 是否可能在确保所得流形不是积流形的前提下，实现此类嵌入？
• RQ3 能否在不违反非正曲率的前提下对所得流形的度量进行平滑化？
• RQ4 对于原始流形，构造成立的必要条件是什么，特别是关于 Whitehead 群的条件？
• RQ5 如何利用截断光滑双曲化来构造一个几何秩为 1 的、非正曲率的流形，使其包含给定的超曲面？

主要发现

• 该构造产生了一个闭的、(n+1) 维黎曼流形 Ŵ，其截面曲率 ≤ 0 且几何秩为 1。
• 原始流形 M 通过 t=0 处的截面等距嵌入到 Ŵ 中，且为全测地子流形。
• Ŵ 上的最终度量是光滑的，且由于使用了凸、光滑、偶的翘曲函数 φ(t)，其曲率为非正。
• 当 M 的 Whitehead 群为平凡时，该构造成立，而这一点由非正曲率流形（维度 >4）的 Farrell–Jones 结果保证。
• 中间流形 W 每个端口的度量等距同构于 M×(a,∞)，其度量为 dt² + e⁻²ᵗgₘ，确保与最终扭曲积结构的兼容性。
• 该方法确保最终流形 Ŵ 不是积流形，这一点由其几何秩为 1 所证实，而该性质源于构造的曲率与拓扑。