[论文解读] Nonsmooth Aggregative Games with Coupling Constraints and Infinitely Many Classes of Players

Paulin Jacquot, Cheng Wan|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2018

Game Theory and Applications参考文献 42被引用 9

一句话总结

本文在具有非光滑代价函数、耦合聚合约束及无穷多玩家类别的非原子聚合博弈中，建立了变分Wardrop均衡的存在性与唯一性。通过在无限维空间中使用广义变分不等式，证明了在强单调性条件下，有限玩家近似（通过伪-VNE）收敛于真实均衡。

ABSTRACT

After defining a pure-action profile in a nonatomic aggregative game, where players have specific compact convex pure-action sets and nonsmooth convex cost functions, as a square-integrable function, we characterize a Wardrop equilibrium as a solution to an infinite-dimensional generalized variational inequality. We show the existence of Wardrop equilibrium and variational Wardrop equilibrium, a concept of equilibrium adapted to the presence of coupling constraints, in monotone nonatomic aggregative games. The uniqueness of (variational) Wardrop equilibrium is proved for strictly or aggregatively strictly monotone nonatomic aggregative games. We then show that, for a sequence of finite-player aggregative games with aggregative constraints, if the players' pure-action sets converge to those of a strongly (resp. aggregatively strongly) monotone nonatomic aggregative game, and the aggregative constraints in the finite-player games converge to the aggregative constraint of the nonatomic game, then a sequence of so-called variational Nash equilibria in these finite-player games converge to the variational Wardrop equilibrium in pure-action profile (resp. aggregate-action profile). In particular, it allows the construction of an auxiliary sequence of games with finite-dimensional equilibria to approximate the infinite-dimensional equilibrium in such a nonatomic game. Finally, we show how to construct auxiliary finite-player games for two general classes of nonatomic games.

研究动机与目标

• 填补非原子聚合博弈在连续动作集与非光滑代价函数下理论框架的空白。
• 为具有耦合聚合约束的博弈提供一个严谨的均衡概念——变分Wardrop均衡（VWE）。
• 在强单调性条件下，建立有限玩家近似（伪-VNE）收敛于VWE的理论结果。
• 提出一种通用的辅助有限玩家博弈构造方法，以近似复杂的非原子博弈。
• 弥合具有异质连续动作集与非光滑收益函数的有限玩家博弈与非原子博弈之间的鸿沟。

提出的方法

• 将纯策略配置形式化为平方可积函数，以建模具有异质、紧致凸动作集的连续统玩家。
• 将变分Wardrop均衡（VWE）表征为无限维广义变分方向不等式（GVI）的解。
• 利用单调性与凸性假设（强单调性或聚合强单调性）证明VWE的存在性与唯一性。
• 构造一系列具有聚合约束的有限玩家博弈（伪-AAS），使其收敛于原始的非原子博弈。
• 在有限玩家博弈中定义伪变分Nash均衡（伪-VNE）为有限维GVI的解，忽略个体对总和的影响。
• 在强单调性条件下，证明伪-VNE解（在总动作或纯策略配置中）收敛于VWE，并给出显式误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非光滑代价函数与耦合聚合约束的非原子聚合博弈中，变分Wardrop均衡在何种条件下存在？
• RQ2 在何种条件下，此类博弈中的变分Wardrop均衡是唯一的？
• RQ3 具有耦合约束的非原子博弈的有限玩家近似是否能收敛于真实的VWE？
• RQ4 如何构造能近似给定非原子博弈（具有连续动作集与非光滑代价）的有限玩家博弈？
• RQ5 在单调性参数与近似误差的控制下，有限玩家均衡收敛于VWE的误差界由什么决定？

主要发现

• 在具有耦合聚合约束与非光滑代价函数的单调非原子聚合博弈中，变分Wardrop均衡（VWE）存在。
• 若博弈为严格单调或聚合严格单调，则VWE唯一。
• 在聚合强单调性（模量为β）下，伪-VNE的总动作配置收敛于VWE，误差界为 ‖X̂ν − X*‖² ≤ (1/β)((3Bf + 1)KA max(Dν, δ̄ν) + (2M + 1)ḋν)。
• 在强单调性（模量为α）下，伪-VNE的纯策略配置在L²-范数下收敛于VWE，误差界为 ‖ψν(𝐱̂ν) − 𝐱*‖²₂ ≤ (1/α)((3Bf + 1)KA max(Dν, δ̄ν) + (2M + 1)ḋν)。
• 若无聚合约束，通过令KA与Dν为零，误差界可简化。
• 在有限玩家博弈的动作集与约束收敛于非原子博弈、且δ̄ν、Dν与ḋν的误差控制得当的假设下，收敛结果成立。