[论文解读] Nonsoluble and non-p-soluble length of finite groups

E. I. Khukhro, Pavel Shumyatsky|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文根據其可解子群的2-長度和p-長度，分別建立了有限群的非可解長度 λ(G) 和非p-可解長度 λₚ(G) 的上界。證明了 λ(G) ≤ 2L₂ + 1 且 λₚ(G) ≤ Lₚ（p ≠ 2），並應用於修正先前關於殘餘有限群中詞 subgroup 的證明中的一個缺陷。

ABSTRACT

Every finite group $G$ has a normal series each of whose factors either is soluble or is a direct product of nonabelian simple groups. We define the nonsoluble length $λ(G)$ as the minimum number of nonsoluble factors in a series of this kind. Upper bounds for $λ(G)$ appear in the study of various problems on finite, residually finite, and profinite groups. We prove that $λ(G)$ is bounded in terms of the maximum $2$-length of soluble subgroups of $G$, and that $λ(G)$ is bounded by the maximum Fitting height of soluble subgroups. For an odd prime $p$, the non-$p$-soluble length $λ_p(G)$ is introduced, and it is proved that $λ_p(G)$ does not exceed the maximum $p$-length of $p$-soluble subgroups. We conjecture that for a given prime $p$ and a given proper group variety ${\frak V}$ the non-$p$-soluble length $λ_p(G)$ of finite groups $G$ whose Sylow $p$-subgroups belong to ${\frak V}$ is bounded. In this paper we prove this conjecture for any variety that is a product of several soluble varieties and varieties of finite exponent.

研究动机与目标

• 根據其可解子群的結構性質，建立有限群非可解長度 λ(G) 的上界。
• 引入並界定奇素數 p 的非p-可解長度 λₚ(G)，類似於非可解長度。
• 解決一個關於 Sylow p-子群位於可解與有限指數冪等類乘積中的有限群的有界非p-可解長度的猜想。
• 修正 Khukhro & Shumyatsky (2012) 中關於殘餘有限群中詞 subgroup 的命題 3.3 證明中的關鍵錯誤。
• 利用 Fitting 高度與非可解長度的界，提供詞 subgroup 指數有界的重新有效證明。

提出的方法

• 將非可解長度 λ(G) 定義為 G 的一個正規序列中非可解因子的最小數目，其中因子為可解群或非交換單群的直積。
• 通過在序列定義中將「可解」替換為「p-可解」，引入非p-可解長度 λₚ(G)。
• 利用可解子群的最大2-長度，通過正規序列的遞歸構造來界定 λ(G)。
• 利用 p-可解子群的最大 p-長度來界定 λₚ(G)，並對 p ≠ 2 提供更精細的證明。
• 利用推論 1.2（將 λ(G) 繫於可解子群的最大 Fitting 高度）來修正先前證明中的錯誤論證。
• 應用 Jones 對無限多組有限單群生成群冪等類的結果，來界定序列中非可解部分的階。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限群的非可解長度 λ(G) 是否能根據其可解子群的2-長度來界定？
• RQ2 對於奇素數 p，非p-可解長度 λₚ(G) 是否能根據 p-可解子群的 p-長度來界定？
• RQ3 對於 Sylow p-子群位於可解與有限指數冪等類乘積中的有限群，非p-可解長度 λₚ(G) 是否仍保持有界？
• RQ4 能否利用非可解長度的新界來修正 Khukhro & Shumyatsky (2012) 的 Lemma 2.5 中的錯誤？
• RQ5 能否在不依賴有缺陷的引理的情況下，重新證明殘餘有限群中詞 subgroup 指數的有界性？

主要发现

• 有限群 G 的非可解長度 λ(G) 有界於 2L₂ + 1，其中 L₂ 為其可解子群的最大2-長度。
• 對於 p ≠ 2，非p-可解長度 λₚ(G) 有界於 G 的 p-可解子群的最大 p-長度。
• 非可解長度 λ(G) 有界於 G 的可解子群的最大 Fitting 高度。
• 關於 Sylow p-子群位於可解與有限指數冪等類乘積中的有限群，其 λₚ(G) 有界的猜想已得證。
• 利用推論 1.2 和非可解長度的新界，修正了 Khukhro & Shumyatsky (2012) 中關於詞 subgroup 的有缺陷證明。
• 修正的證明確立了當所有 896 δₖ-換位子的乘積的階整除 n，且生成元滿足階約束時，有限群 G 的階可依 k, m, n 來界定。