[论文解读] Nonstatic cylindrically symmetric vacuum spacetimes in generalized Kasner form

Özgür Delice|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2004

Advanced Differential Geometry Research被引用 3

一句话总结

本文通过假设度规函数的可分性，研究了非静态、柱对称的真空时空，针对静态 Levi-Civita 情况的每个参数值，推导出两个非静态解。关键结果是一个广义解，扩展了先前的时间依赖真空解，突出表明在柱对称情况下不存在 Birkhoff 型定理，并证实柱对称坍缩过程中可发射引力波。

ABSTRACT

Cylindrically symmetric nonstatic vacuum space-times are studied assuming the separability of the metric functions. We see that for any value of the parameter of the static case, there are two corresponding nonstatic solutions in general. Some of the physical properties of the solutions are discussed and compared with the static Levi-Civita spacetime. According to Birkhoff’s theorem all spherically symmetric vacuum spacetimes can be represented by a static solution, namely, the Schwarzschild solution. Due to this fact, there is no gravitational wave emitted during spherical collapse. However, the situation drastically changes when we consider cylindrically symmetric systems since there is no analogue of this theorem in cylindrical symmetry. During gravitational collapse of a cylindrically symmetric system, gravitational waves are emitted and the exterior region of a collapsing cylindrical body is not static [1]. Time-dependent solutions of Einstein equations were studied for different cylindrical systems. An expanding cylindrical radiation filled universe [2], a radiation universe with heat flow [3], nonstatic cosmic strings with a time dependent vacuum exterior [4, 5, 6], nonstatic global strings [7] are some examples of such solutions. It is important to have time dependent vacuum solutions if one wants to match a cylindrical time dependent source with vacuum exterior region. Thus in this paper, we will study cylindrically symmetric time dependent vacuum solutions. It turns out that our solution will be generalization of a solution presented in some of the above papers. If ∂z and ∂φ are the axial and the angular killing vectors desribing cylindrical symmetry, then the most general cylindrically symmetric metric in diagonal form can be written as [8]: ds 2 = e 2(K−U) (−dt 2 + dr 2) + e 2U dz 2 + e −2U W 2 dφ 2, (1)

研究动机与目标

• 在柱对称情况下不存在 Birkhoff 型定理的前提下，研究非静态柱对称真空解。
• 确定是否存在时间依赖的真空解，可推广已知的静态和动态解。
• 将推导出的非静态解的物理性质与静态 Levi-Civita 时空进行比较。
• 建立在广义相对论中将时间依赖柱对称源与真空外区匹配的框架。
• 探讨度规函数可分性在构建柱对称精确解中的影响。

提出的方法

• 假设一般柱对称对角度规形式中度规函数的可分性。
• 采用度规假设：ds² = e²⁽ᴷ⁻ᵁ⁾(−dt² + dr²) + e²ᵁ dz² + e⁻²ᵁ W² dφ²，其中 K、U 和 W 为 r 和 t 的函数。
• 将爱因斯坦真空场方程应用于可分度规，导出一组偏微分方程。
• 在可分性假设下求解所得方程，每个静态参数值对应得到两个非静态解。
• 将推导出的解与静态 Levi-Civita 时空及先前文献中的已知时间依赖解进行比较。
• 在引力波辐射的背景下，分析解的物理性质，包括曲率和因果结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度规函数可分性的假设下，能否推导出非静态、柱对称的真空解？
• RQ2 这些非静态解在物理上与静态 Levi-Civita 时空相比有何异同？
• RQ3 在柱对称情况下，Birkhoff 型定理的缺失对引力波辐射有何作用？
• RQ4 所推导的解如何推广先前已知的柱对称系统的时变真空解？
• RQ5 这些解对将时间依赖柱对称源与真空外区匹配有何影响？

主要发现

• 对于静态 Levi-Civita 解的每个参数值，均找到两个对应的非静态真空解，表明时变情况下解空间更加丰富。
• 所推导的解推广了已知的柱对称系统时变真空解，例如涉及非静态宇宙弦或全局弦的情况。
• 在柱对称情况下不存在 Birkhoff 型定理，意味着柱对称物体坍缩过程中可发射引力波。
• 解在度规函数中显式表现出时间依赖性，证实了坍缩柱对称源的外部时空并非静态。
• 可分性假设导致可解的方程组，从而获得精确且具有物理意义的真空解。
• 非静态解的物理性质与静态情况显著不同，尤其在曲率和因果结构方面，支持引力辐射的发射。