[论文解读] Nonsymmetric Dependence Measures: the Discrete Case

Hui Li|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过转移矩阵引入了离散随机变量的非对称依赖度量，将连续情形下的基于copula的方法进行扩展。研究证明，copula中的乘积运算在离散情形下转化为转移矩阵的矩阵乘法，从而证明了数据处理不等式（DPI），并实现了对组间依赖和条件依赖的检测，尽管数值结果依赖于边缘分布。

ABSTRACT

Following our previous work on copula-based nonsymmetric dependence measures, we introduce similar measures for discrete random variables. The measures cover the range between two extremes: independence and complete dependence, which take minimum value exactly on independence and take maximum value exactly on complete dependence. We find that the * product on copulas in the continuous case reduces to matrix product of transition matrices in the discrete case and we use it to prove the DPI condition. The measures can also be extended to detect dependence between groups of discrete random variables or conditional dependence. Unlike the continuous case, one drawback is that the value of the measures depends on marginal distributions.

研究动机与目标

• 将基于copula的非对称依赖度量扩展至离散随机变量。
• 使用转移矩阵建立离散设定下依赖关系的数学框架。
• 利用矩阵运算在离散情形下证明数据处理不等式（DPI）。
• 实现对离散变量组间或条件依赖关系的检测。
• 解决依赖度量数值在离散情形下依赖于边缘分布的局限性。

提出的方法

• 使用转移矩阵表示离散随机变量的条件分布。
• 在离散情形下，用转移矩阵的矩阵乘法替代连续情形下copula的乘积运算。
• 定义依赖度量，其取值范围从独立性（最小值）到完全依赖（最大值）。
• 将矩阵乘积框架应用于证明离散依赖度量的数据处理不等式（DPI）。
• 将框架扩展至检测离散变量组间的依赖关系以及条件依赖结构。
• 表明依赖度量的取值对边缘分布敏感，这是与连续情形的一个关键区别。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将非对称依赖度量从连续情形适配至离散随机变量？
• RQ2 在离散情形下，替代copula乘积的代数运算为何种形式？其如何保持DPI等关键性质？
• RQ3 所提出的离散依赖度量能否检测离散变量组间的依赖关系？
• RQ4 在条件化下依赖度量的行为如何？能否用于检测条件依赖？
• RQ5 为何在离散情形下依赖度量的取值依赖于边缘分布？其含义是什么？

主要发现

• 连续情形下的copula乘积在离散情形下被替换为转移矩阵的矩阵乘法。
• 所提出的依赖度量在独立性时恰好取最小值，在完全依赖时恰好取最大值。
• 利用矩阵乘积框架，证明了在离散设定下数据处理不等式（DPI）成立。
• 该框架可实现对离散变量组间依赖关系的检测。
• 依赖度量的取值对边缘分布敏感，这是与连续情形的一个显著差异。
• 通过将转移矩阵方法扩展至条件结构，该方法可实现对条件依赖的检测。