[论文解读] Nontrivial realization of the space-time translations in the theory of quantum fields

Marcin Kaźmierczak|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2010

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文展示了通过构建具有显式时空依赖性的拉格朗日量，量子场可以一致地在庞加莱群的非平凡表示下变换，包括时空平移。关键结果是，此类场——庞加莱旋量场与庞加莱矢量场——可以以幺正、因果且规范不变的方式表述，从而将标准量子场论扩展至非平凡平移作用之外。

ABSTRACT

In standard quantum field theory, the one-particle states are classified by unitary representations of the Poincaré group, whereas the causal fields' classification employs the finite dimensional (non-unitary) representations of the (homogeneous) Lorentz group. A natural question arises - why the fields are not allowed to transform nontrivially under translations? We investigate this issue by considering the fields that transform under the full representation of the Poincaré group. It follows that such fields can be consistently constructed, although the Lagrangians that describe them necessarily exhibit explicit dependence on the space-time coordinates. The two examples of the Poincaré-spinor and the Poincaré-vector fields are considered in details. The inclusion of Yang--Mills type interactions is considered on the simplest example of the U(1) gauge theory. The generalization to the non-abelian case is straightforward so long as the action of the gauge group on fields is independent of the action of the Poincaré group. This is the case for all the known interactions but gravity.

研究动机与目标

• 研究为何在标准量子场论中，量子场在时空平移下表现平凡，尽管庞加莱群具有完整结构。
• 确定是否可以在量子场论中一致地构造在完整庞加莱群下非平凡变换的场。
• 为这类场发展拉格朗日量表述，包括杨-米尔斯型相互作用，并验证其与因果性和幺正性的相容性。
• 将该构造推广至非阿贝尔规范理论，其中规范群作用独立于庞加莱群作用。

提出的方法

• 构造庞加莱群的有限维非幺正表示以分类量子场，扩展至洛伦兹群分类之外。
• 推导显式依赖于时空坐标的场方程与拉格朗日量，以保持与非平凡平移变换的一致性。
• 利用温伯格-温格一致性条件，通过幺正庞加莱群表示将场表示与单粒子态关联。
• 通过庞加莱代数生成元的矩阵表示显式构造庞加莱旋量场与庞加莱矢量场。
• 验证所得场满足标准庞加莱代数对易关系，并满足方程运动的洛伦兹不变性。
• 通过确保规范群作用与庞加莱群作用可交换，将形式化推广至U(1)与非阿贝尔规范理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子场论中，量子场能否在保持幺正性与因果性的同时，于时空平移下非平凡变换？
• RQ2 若要描述在完整庞加莱群非平凡表示下变换的场，拉格朗日量必须采取何种形式？
• RQ3 当平移对场的作用非平凡时，场方程与对称性相较于标准平凡作用如何变化？
• RQ4 杨-米尔斯型相互作用能否与具有非平凡庞加莱群变换的场一致耦合？
• RQ5 若规范群的平移部分非平凡作用，庞加莱规范理论框架是否仍与标准物质场相容？

主要发现

• 通过具有显式时空依赖性的拉格朗日量，量子场中时空平移的非平凡实现是可能的，确保与庞加莱代数的一致性。
• 庞加莱旋量场与庞加莱矢量场被显式构造为庞加莱群的有限维表示，其生成元满足标准对易关系。
• 由温伯格一致性条件导出的场振幅对应唯一自旋值，证实了这些场作为粒子态的物理诠释。
• 在U(1)规范理论的实例中，相互作用拉格朗日量在全局庞加莱变换下不变，且规范场在平移下非平凡变换。
• 只要规范群作用与庞加莱群作用可交换，该构造可直接推广至非阿贝尔规范理论，从而保持规范不变性。
• 针对特定情形（M=1, n=0, qc=1），显式计算了庞加莱生成元的表示矩阵，通过相似变换确认其等价于庞加莱矢量表示。