[论文解读] Nontrivial solutions for a class of gradient-type quasilinear elliptic systems

Anna María Candela, Caterina Sportelli|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2022

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 1

一句话总结

本文证明了一类涉及p-Laplacian型算子的梯度型拟线性椭圆组存在非平凡弱有界解。通过在特定的Banach空间X中变分地表述问题，作者证明了相关的能量泛函J是C¹类，并在次临界增长和Ambrosetti–Rabinowitz型假设下满足弱Cerami–Palais–Smale条件。利用广义Mountain Pass定理，他们在对称条件下证明了至少存在一个临界点，若J为偶泛函，则存在无穷多个临界点。

ABSTRACT

The aim of this paper is investigating the existence of weak bounded solutions of the gradient-type quasilinear elliptic system $$(P)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} - { m div} ( a_i(x, u_i, abla u_i) ) + A_{i, t} (x, u_i, abla u_i) = G_i(x, \mathbf{u}) &\hbox{ in $\Omega$}\\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad \mbox{ for }\; i\in\{1,\dots,m\},\\ \mathbf{u} = 0 &\hbox{ on $\partial\Omega$,} \end{array} ight.$$ with $m\geq 2$ and $\mathbf{u}=(u_1,\dots, u_{m})$, where $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is an open bounded domain and some functions $A_i:\Omega imes\mathbb{R} imes \mathbb{R}^N ightarrow\mathbb{R}$, $i\in\{1,\dots,m\}$, and $G:\Omega imes\mathbb{R}^m ightarrow\mathbb{R}$ exist such that $a_i(x,t,\xi) = abla_{\xi} A_i(x,t,\xi)$, $A_{i, t} (x,t,\xi) = \frac{\partial A_i}{\partial t} (x,t,\xi)$ and $G_{i}(x,\mathbf{u}) = \frac{\partial G}{\partial u_i}(x,\mathbf{u})$. We prove that, under suitable hypotheses, the functional $\mathcal{J}$ related to problem $(P)$ is $\mathcal{C}^1$ on a "good" Banach space $X$ and satisfies the weak Cerami-Palais-Smale condition. Then, generalized versions of the Mountain Pass Theorems allow us to prove the existence of at least one critical point and, if $\mathcal{J}$ is even, of infinitely many ones, too.

研究动机与目标

• 建立具有m ≥ 2个方程的一般梯度型拟线性椭圆组弱有界解存在的条件。
• 确定在何种条件下，相关能量泛函在合适的Banach空间X中为C¹类并满足弱Cerami–Palais–Smale条件。
• 利用广义Mountain Pass定理证明能量泛函至少存在一个非平凡临界点。
• 将结果推广至偶泛函情形，证明在对称假设下存在无穷多个临界点。

提出的方法

• 在Banach空间X = ∏ᵢ(Xᵢ ∩ L∞(Ω))上，通过定义能量泛函J(u) = ∑ᵢ∫Ω Ai(x, ui, ∇ui)dx − ∫Ω G(x, u)dx，将问题表述为变分问题，其中Xᵢ ⊂ W¹,pi₀(Ω)。
• 通过在Ai及其关于ξ和t的导数上施加C¹-Carathéodory条件和增长界，建立J在X上的C¹正则性。
• 通过利用X上多重范数之间的相互作用，引入弱Cerami–Palais–Smale条件(wCPS)β，替代可能失效的经典Palais–Smale条件。
• 通过验证wCPSβ条件，应用[9]中的抽象临界点理论，结合G(x, u)的Ambrosetti–Rabinowitz型条件和次临界增长。
• 采用[8]中W¹,pi₀(Ω)空间的‘良好’分解方法，处理无穷维情形，并验证多重性所需的(H̺)假设。
• 应用抽象临界点理论中的推论2.4，推导出当J为偶泛函时，存在一列发散的临界水平。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，梯度型拟线性椭圆组相关能量泛函在合适的Banach空间X中满足弱Cerami–Palais–Smale条件？
• RQ2 在次临界增长和Ambrosetti–Rabinowitz型条件下，能否保证此类系统至少存在一个非平凡弱有界解？
• RQ3 在何种条件下可确保偶泛函存在无穷多个解？
• RQ4 当经典Palais–Smale条件失效时，X上不同范数之间的相互作用如何使弱Cerami–Palais–Smale条件得以验证？
• RQ5 Sobolev空间的分解在证明对称泛函的多重性结果中起何种作用？

主要发现

• 在Ai及其偏导数满足适当的C¹正则性和增长假设下，能量泛函J在Banach空间X = ∏ᵢ(Xᵢ ∩ L∞(Ω))上为C¹类，其中Xᵢ ⊂ W¹,pi₀(Ω)。
• 在Ambrosetti–Rabinowitz型条件和G(x, u)的次临界增长下，泛函J满足弱Cerami–Palais–Smale条件(wCPS)β，即使经典Palais–Smale条件失效。
• 在G在零点附近和无穷远处的局部行为假设下，J存在至少一个非平凡临界点，且满足J(u∗) ≥ ̺₀ > J(0) = 0。
• 若J为偶泛函，则存在无穷多个几何上不同的临界点，构成一列发散的临界水平。
• 通过(H̺)条件以及有限维子空间和X的对称子空间的使用，建立了临界水平发散至无穷的一列解的存在性。
• 证明依赖于对∫Ω Ai(x, ui, ∇ui)dx和∫Ω G(x, u)dx增长的精细分析，结合有限维子空间中的插值不等式和范数等价性。