[论文解读] Nonuniform Dichotomy Spectrum and Normal Forms for Nonautonomous Differential Systems

Xiang Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文通过为具有非一致指数分歧的线性部分引入非一致分歧谱，建立了非自治非线性微分系统的有限阶法式。证明了在谱条件成立时，系统可通过有界的时间依赖多项式变换转化为法式，将经典法式理论推广至具有非一致双曲性的非自治情形。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the normal forms of nonautonomous differential systems. For doing so, we first investigate the nonuniform dichotomy spectrum of the linear evolution operators that admit a nonuniform exponential dichotomy, where the linear evolution operators are defined by nonautonomous differential equations $\dot x=A(t)x$ in $\R^n$. Using the nonuniform dichotomy spectrum we obtain the normal forms of the nonautonomous linear differential equations. Finally we establish the finite jet normal forms of the nonlinear differential systems $\dot x=A(t)x+f(t,x)$ in $\R^n$, which is based on the nonuniform dichotomy spectrum and the normal forms of the nonautonomous linear systems.

研究动机与目标

• 将经典法式理论推广至具有非一致双曲性的非自治微分系统。
• 为与非自治系统相关的线性演化算子定义并分析非一致分歧谱。
• 利用谱性质与动力学性质，为形如 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ 的非线性系统构造有限阶法式。
• 证明存在有界的时间依赖多项式变换，可将系统约化为法式。
• 将自治系统与一致双曲性系统的结论推广至非一致双曲性、非自治情形。

提出的方法

• 将非一致分歧谱 $\Sigma(A)$ 定义为所有满足 $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$ 不承认非一致指数分歧的 $\gamma \in \mathbb{R}$ 的集合。
• 定义具有时间依赖界（含 $K$，$\alpha < 0 < \beta$，以及 $\mu, \nu \geq 0$）的非一致指数分歧，且满足 $\alpha + \mu < 0$，$\beta - \nu > 0$，以及 $\max\{\mu, \nu\} \leq \min\{-\alpha, \beta\}$。
• 利用不变投影 $P(t)$ 和演化算子 $\Phi(t,s)$ 描述分歧结构与谱分解。
• 应用逐次逼近法构造有界的时间依赖变换 $x = y + h(t,y)$，其中 $h(t,y)$ 为次数为 $2k-5$ 的多项式。
• 通过积分界与涉及 $\varrho$，$\omega_{\tau,j}$ 和 $D_{\tau,j}$ 的指数衰减估计，推导 $h_{r1}^{(\tau,j)}(t)$ 系数的递推估计。
• 通过归纳法证明变换的收敛性与有界性，得到 $\|h_{r+1,1}^{(\tau,j)}(t)\| \leq C e^{-\left(rk - \frac{r(r+5)}{2}\right)\varrho |t|}$ 对 $t \neq 0$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 法式理论能否推广至具有非一致指数分歧的非自治系统？
• RQ2 非一致分歧谱如何定义，其在非自治线性系统谱分解中起何作用？
• RQ3 在何种条件下，非线性非自治系统 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ 可通过有界的时间依赖多项式变量变换转化为法式？
• RQ4 法式构造中变换系数的衰减速率与有界性特征为何？
• RQ5 谱条件 $\alpha + \mu < 0$，$\beta - \nu > 0$ 以及 $\max\{\mu, \nu\} \leq \min\{-\alpha, \beta\}$ 如何影响法式的存在性与正则性？

主要发现

• 非一致分歧谱 $\Sigma(A)$ 定义良好，表征了使扰动系统 $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$ 不承认非一致指数分歧的 $\gamma $ 值。
• 线性系统 $\dot{x} = A(t)x$ 可分解为对应于谱区间的不变线性积分流形，从而实现谱分析。
• 对于非线性系统 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$，存在时间依赖的多项式变换 $x = y + h(t,y)$，其中 $h(t,y)$ 次数为 $2k-5$，可将系统转化为法式 $\dot{y} = By + g(t,y)$。
• 变换系数 $h_{r1}^{(\tau,j)}(t)$ 一致有界，并满足指数衰减估计：对 $t \neq 0$，有 $\|h_{r+1,1}^{(\tau,j)}(t)\| \leq C e^{-\left(rk - \frac{r(r+5)}{2}\right)\varrho |t|}$。
• 法式构造可达阶数 $2k-5$，变换系数有界，且通过归纳法与积分估计确保收敛性。
• 该构造确保法式为有限阶，即变换为有限次数的多项式，余项为高阶项，从而保持谱结构。