[论文解读] Nonuniform $(\mu, u)$-dichotomies and local dynamics of difference equations

António J. G. Bento, César M. Silva|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了非自治线性差分方程在非一致 $(\mu, \nu)$-分解下的摄动的局部稳定流形定理，允许在一致部分和非一致部分具有任意增长率。它证明了在一般非线性摄动下稳定流形的存在性及霍尔德型衰减估计，将经典结果扩展到Lyapunov指数可能为零的情形，并将多项式和非指数分解作为特例包含在内。

ABSTRACT

We obtain a local stable manifold theorem for perturbations of nonautonomous linear difference equations possessing a very general type of nonuniform dichotomy, possibly with different growth rates in the uniform and nonuniform parts. We note that we consider situations were the classical Lyapunov exponents can be zero. Additionally, we study how the manifolds decay along the orbit of a point as well as the behavior under perturbations and give examples of nonautonomous linear difference equations that admit the dichotomies considered.

研究动机与目标

• 为在非常广义的非一致分解类下，非自治线性差分方程摄动的局部稳定流形定理建立基础。
• 将现有结果从指数分解扩展到包括多项式和其他非指数增长率的情形。
• 分析解沿稳定流形的衰减行为及其对摄动的依赖性。
• 提供一个即使在经典Lyapunov指数为零时也有效的理论框架，从而涵盖更广泛的拟双曲动力系统。
• 通过摄动空间上的合适度量，量化稳定流形对摄动的连续性。

提出的方法

• 引入广义的非一致 $(\mu, \nu)$-分解，允许一致部分的增长率 $\mu_n$ 与非一致部分的增长率 $\nu_n$ 不同。
• 在函数序列的巴拿赫空间中使用不动点论证，将稳定流形构造为满足压缩条件的函数 $\phi$ 的图像。
• 通过在具有权 $\beta_n$ 的霍尔德型函数空间上应用图变换技术，利用压缩映射原理。
• 利用分解界和摄动结构，建立稳定流形上解的衰减估计。
• 通过度量 $\|f - \bar{f}\|''' = \sup \frac{\|f_n(u) - \bar{f}_n(u)\|}{\|u\|^{q+1}}$ 推导出不同摄动对应的稳定流形之间距离的界。
• 使用涉及算子范数 $\|A_{k+1,n}^{-1} Q_{k+1}\|$ 的估计，并以 $\mu_n^a \nu_n^\varepsilon$ 加权，以控制衰减和压缩速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非一致、非指数分解的非自治差分方程建立局部稳定流形定理？
• RQ2 当分解具有不同的一致和非一致增长率时，稳定流形沿轨道如何衰减？
• RQ3 稳定流形对摄动的依赖性如何？如何在合适的度量下对其进行量化？
• RQ4 该理论能否涵盖经典Lyapunov指数为零的情形，例如多项式分解？
• RQ5 在一般非线性摄动下，稳定流形的不动点论证在何种条件下收敛？

主要发现

• 对于具有任意增长率的非一致 $(\mu, \nu)$-分解的非自治线性差分方程摄动，其局部稳定流形存在。
• 稳定流形沿轨道的衰减速率受 $C \left( \frac{\mu_m}{\mu_n} \right)^a \nu_\varepsilon^n$ 限制，其中 $a < 0$，$\varepsilon \geq 0$，即使 $a=0$ 时也能保证衰减。
• 该定理包含了经典的非一致指数分解和非一致多项式分解作为特例。
• 稳定流形关于摄动是霍尔德连续的，满足 $\|\phi - \bar{\phi}\|' \leq 4 \cdot 3^{q+1} C^{q+1} D \delta^q \|f - \bar{f}\|'''$。
• 当 $\delta > 0$ 足够小时，存在性结果成立，从而确保不动点论证中压缩条件被满足。
• 该框架允许满足 $\|f_m(u) - f_m(v)\| \leq c \|u - v\|(\|u\| + \|v\|)^q$ 且 $q > 1$ 的摄动，涵盖超线性非线性情形。