[论文解读] Nonzero-sum games of optimal stopping and generalised Nash equilibrium

Randall Martyr, John Moriarty|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Economic theories and models参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文建立了非零和最优停时博弈（Dynkin博弈）与广义纳什均衡问题（GNEP）之间的新联系，揭示了无需支付函数可微性假设的新一类阈值型及复杂结构均衡。论文证明了马尔可夫均衡的唯一性与稳定性，放宽了先前结果中的光滑性条件，从而在随机控制与博弈论中实现了更广泛的应用。

ABSTRACT

In the nonzero-sum setting, we establish a connection between Nash equilibria in games of optimal stopping (Dynkin games) and generalised Nash equilibrium problems (GNEP). In the Dynkin game this reveals novel equilibria of threshold type and of more complex types, and leads to novel uniqueness and stability results.

研究动机与目标

• 建立非零和最优停时博弈与广义纳什均衡问题（GNEP）之间的理论联系。
• 识别并表征Dynkin博弈中的新均衡类别，包括阈值型与结构复杂的均衡。
• 在奖励函数不具可微性等弱正则性条件下，证明马尔可夫均衡的唯一性与稳定性。
• 通过允许策略空间重叠（如 a ≥ b），推广现有关于阈值型均衡结果，突破以往假设的限制。

提出的方法

• 利用具有 n ≥ 2 名参与者的确定性抽象经济框架，形式化两玩家非零和Dynkin博弈与GNEP之间的联系。
• 应用随机分析工具，包括布朗运动的子过程与上调和函数，以建模底层的马尔可夫过程。
• 运用上凸包理论与Dynkin公式，验证均衡构造中停止时间的最优性。
• 推导效用函数及其偏导数的显式表达式，以分析阈值情形与复杂结构情形下的均衡条件。
• 采用验证定理（命题D.1与D.2）确认候选停止时间满足最优停时条件。
• 提出基于迭代逼近方案的稳定性分析，独立于先前工作中使用的单调性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义纳什均衡问题如何用于表征和构造非零和最优停时博弈中的新型均衡？
• RQ2 当支付函数不可微时，何种条件可确保Dynkin博弈中马尔可夫均衡的唯一性？
• RQ3 阈值型均衡是否可超越策略集不相交（a < b）的情形进行表征，包括重叠或无序情形？
• RQ4 当关联的GNEP涉及超过两名参与者（n > 2）时，均衡具有何种结构形式？其与阈值型解有何不同？
• RQ5 均衡的稳定性如何与迭代逼近方案相关联？是否可在不依赖单调性假设的前提下建立该关系？

主要发现

• 论文在策略集重叠（a ≥ b）情形下仍识别出新型阈值型均衡，拓展了以往要求 a < b 的研究。
• 在较弱正则性条件下，证明了所有马尔可夫策略中马尔可夫均衡的唯一性。
• 该方法不要求奖励函数 f_i、g_i 或 h_i 可微，从而将适用范围扩展至先前结果无法覆盖的情形。
• 当 n > 2 时，GNEP框架产生结构远比阈值型解更复杂的均衡，据作者所知，此类结构此前尚未被研究。
• 通过迭代逼近方案建立了稳定性结果，且无需单调性假设，从而推广了早期的收敛性结果。
• 验证定理（D.1 与 D.2）表明，候选停止时间是最小非负上凸包（concave majorant）的对应项，从而确认其最优性。