[论文解读] Nonzero-sum stochastic differential games with impulse controls : a verification theorem with applications

René Aïd, Matteo Basei+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 46

一句话总结

本文为带脉冲控制的非零和随机微分博弈开发了一个验证定理，建立了刻画纳什均衡的拟变分不等式（QVI）系统。该框架被应用于一维脉冲博弈，其运行收益为线性，显式求解出一族纳什均衡，并推导出均衡策略与收益的闭式表达式，同时对干预成本进行了渐近分析，并对非对称情形（包括三次收益）进行了数值求解。

ABSTRACT

We consider a general nonzero-sum impulse game with two players. The main mathematical contribution of the paper is a verification theorem which provides, under some regularity conditions, a suitable system of quasi-variational inequalities for the value functions and the optimal strategies of the two players. As an application, we study an impulse game with a one-dimensional state variable, following a real-valued scaled Brownian motion, and two players with linear and symmetric running payoffs. We fully characterize a Nash equilibrium and provide explicit expressions for the optimal strategies and the value functions. We also prove some asymptotic results with respect to the intervention costs. Finally, we consider two further non-symmetric examples where a Nash equilibrium is found numerically.

研究动机与目标

• 为带脉冲控制的非零和随机微分博弈开发一个通用的验证定理。
• 在正则性和增长条件之下，通过一组拟变分不等式（QVIs）刻画纳什均衡。
• 显式求解一个对称的一维脉冲博弈，其运行收益为线性，脉冲成本也为线性。
• 分析均衡关于干预成本的渐近行为。
• 将该框架扩展至非对称情形，包括三次收益和线性-三次混合收益，通过数值方法求解。

提出的方法

• 构建一个由缩放布朗运动驱动的两玩家非零和脉冲博弈的模型。
• 将玩家收益定义为运行收益/损失的贴现积分，加上离散的脉冲奖励与惩罚，并设定同时干预时的优先规则。
• 推导出涉及无穷小生成元 A、干预算子 Mi 和 Hi 以及收益函数 Vi 的耦合 QVI 系统。
• 建立验证定理：若 Vi 解决了 QVI 系统，并满足正则性和增长条件，则其代表均衡收益。
• 通过构造候选解并利用解析与单调性论证，将该定理应用于对称线性情形。
• 对于非对称情形（三次、混合），通过数值方法求解 8 个方程的 QVI 系统，并验证均衡的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一组拟变分不等式可以刻画两个玩家在非零和脉冲博弈中的纳什均衡？
• RQ2 在一维对称脉冲博弈中，若运行收益为线性，其均衡策略与收益的显式形式为何？
• RQ3 干预成本如何影响此类博弈中均衡的结构与存在性？
• RQ4 该验证定理能否应用于非对称收益结构，如三次或线性-三次混合收益？
• RQ5 当解析解不可得时，求解所得 QVI 系统的有效数值方法有哪些？

主要发现

• 在对称线性情形下，存在一族纳什均衡：玩家 1 在 X < ¯x1 时干预并将状态移至 x∗1，玩家 2 在 X > ¯x2 时干预并将状态移至 x∗2。
• 推导出 ¯x1、¯x2、x∗1、x∗2 以及均衡收益 V1 和 V2 关于模型参数 ρ、σ、c、˜c、λ、˜λ、s1、s2 的显式表达式。
• 当 c = ˜c 且 λ = ˜λ 时，不存在可接受的纳什均衡，表明成本对称性存在临界阈值。
• 随着 ˜s 增大，持续区域 ]¯x1, ¯x2[ 向右移动，且 V2(x) 随 ˜s 单调递减，极限为 V+∞2 (x) = −∞ 和 V−∞2 (x) = +∞。
• 对于三次收益，数值求解 8 个方程的 QVI 系统，得到在特定参数下 ¯x1 = −0.732，¯x2 = 0.464，x∗1 = 0.186，x∗2 = −0.453。
• 在混合线性-三次情形下，持续区域 ]¯x1, ¯x2[ 更靠近 s1 而非 s2，反映出玩家 1 因收益曲率更陡而具有更高的干预激励。