[论文解读] Nordhaus-Gaddum-type theorem for conflict-free connection number of graphs

Hong Chang, Zhong Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了图的冲突自由连通数（cfc）的Nordhaus-Gaddum型定理，证明了对于任意连通图 $G$ 及其补图 $¯{G}$，有 $cfc(G) + cfc(¯{G})$ 满足 $4 \leq cfc(G) + cfc(¯{G}) \leq n$，且乘积满足 $4 \leq cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) \leq 2(n-2)$。这些界是紧的，且等号成立当且仅当 $G$ 或 $¯{G}$ 是最大度为 $n-2$ 的树或同构于 $P_5$。该研究刻画了具有极端 cfc 值的图，并为互补图的 cfc 数之和与积提供了紧界。

ABSTRACT

An edge-colored graph $G$ is \emph{conflict-free connected} if, between each pair of distinct vertices, there exists a path containing a color used on exactly one of its edges. The \emph{conflict-free connection number} of a connected graph $G$, denoted by $cfc(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ conflict-free connected. In this paper, we determine all trees $T$ of order $n$ for which $cfc(T)=n-t$, where $t\geq 1$ and $n\geq 2t+2 $. Then we prove that $1\leq cfc(G)\leq n-1$ for a connected graph $G$, and characterize the graphs $G$ with $cfc(G)=1,n-4,n-3,n-2,n-1$, respectively. Finally, we get the Nordhaus-Gaddum-type theorem for the conflict-free connection number of graphs, and prove that if $G$ and $\overline{G}$ are connected, then $4\leq cfc(G)+cfc(\overline{G})\leq n$ and $4\leq cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})\leq2(n-2)$, and moreover, $cfc(G)+cfc(\overline{G})=n$ or $cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})=2(n-2)$ if and only if one of $G$ and $\overline{G}$ is a tree with maximum degree $n-2$ or a $P_5$, and the lower bounds are sharp.

研究动机与目标

• 确定阶为 $n$ 的树 $T$ 的结构，使得 $cfc(T) = n - t$，其中 $t \geq 1$ 且 $n \geq 2t + 2$。
• 刻画所有满足 $cfc(G) = 1, n-4, n-3, n-2, n-1$ 的连通图 $G$。
• 为互补图的冲突自由连通数建立紧致的Nordhaus-Gaddum型不等式。

提出的方法

• 通过分析边着色模式和顶点度数，刻画满足 $cfc(T) = n - t$ 的树。
• 利用极值边着色论证，证明任意连通图 $G$ 满足 $1 \leq cfc(G) \leq n-1$。
• 利用图论结构及割边和 $2$-边连通子图的性质，对 $cfc(G)$ 进行有界。
• 应用引理 5.5，证明当 $\lambda(G) = \lambda(\u00af{G}) = 1$ 时，$G$ 或 $\u00af{G}$ 至少有一个满足 $cfc = 2$，从而实现和与积的界。
• 通过分析最大度为 $n-2$ 的图和 $P_5$ 的情况，结合生成子图与连通分支分解技术，确立等号成立条件。
• 利用命题 2.11 和引理 2.6，通过已知 cfc 值的生成子图对 $cfc(G)$ 进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些阶为 $n$ 的树 $T$，有 $cfc(T) = n - t$ 成立，其中 $t \geq 1$ 且 $n \geq 2t + 2$？
• RQ2 满足 $cfc(G) = 1$，$n-4$，$n-3$，$n-2$，$n-1$ 的连通图的精确刻画是什么？
• RQ3 当 $G$ 和 $¯{G}$ 均为连通图时，$cfc(G) + cfc(¯{G})$ 与 $cfc(G) \cdot cfc(¯{G})$ 的最紧可能上下界是什么？
• RQ4 在互补图中，$cfc(G) + cfc(¯{G}) = n$ 或 $cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) = 2(n-2)$ 何时成立？

主要发现

• 任意连通图 $G$ 的冲突自由连通数满足 $1 \leq cfc(G) \leq n-1$，且上界取等当且仅当 $G$ 是星图或完全图。
• 满足 $cfc(G) = 1$ 的图恰好是星图 $K_{1,n-1}$，而满足 $cfc(G) = n-1$ 的图是完全图 $K_n$。
• 对于任意连通图 $G$ 及其补图 $¯{G}$，有 $4 \leq cfc(G) + cfc(¯{G}) \leq n$，且乘积满足 $4 \leq cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) \leq 2(n-2)$。
• 当且仅当 $G$ 或 $¯{G}$ 是最大度为 $n-2$ 的树或同构于 $P_5$ 时，$cfc(G) + cfc(¯{G}) = n$ 成立，且该条件对乘积 $cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) = 2(n-2)$ 同样成立。
• 和与积的下界 $4$ 均为紧界，当 $G$ 和 $¯{G}$ 的最大度顶点至多关联两个割边时达到。
• 对满足 $cfc(G) = n-2$ 的图的刻画表明，此类图要么是最大度为 $n-2$ 的树，要么是特定的小图（$K_{1,3}+e$，$K_{2,2}$，$K_{2,2}+e$，$P_5$），但仅当为树时其补图才连通。