[论文解读] Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph

Lily Chen, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文建立了图与其补图的彩虹顶点连通数（rvc）的Nordhaus-Gaddum型不等式。证明了对于任意满足 $ n \geq 5 $ 个顶点的连通图 $ G $ 及其补图 $ \overline{G} $，其和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 满足 $ 2 \leq rvc(G) + rvc(\overline{G}) \leq n-1 $，且对所有 $ n \geq 5 $，上下界均为紧致的。

ABSTRACT

A vertex-colored graph $G$ is rainbow vertex-connected if any pair of distinct vertices are connected by a path whose internal vertices have distinct colors. The rainbow vertex-connection number of $G$, denoted by $rvc(G)$, is the minimum number of colors that are needed to make $G$ rainbow vertex-connected. In this paper we give a Nordhaus-Gaddum-type result of the rainbow vertex-connection number. We prove that when $G$ and $\bar{G}$ are both connected, then $2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$. Examples are given to show that both the upper bound and the lower bound are best possible for all $n\geq 5$.

研究动机与目标

• 建立图与其补图的彩虹顶点连通数之和的紧致界。
• 将Nordhaus-Gaddum型结果从色数和彩虹连通数推广至彩虹顶点连通数。
• 证明对所有 $ n \geq 5 $，$ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 的下界与上界均为最优的。

提出的方法

• 通过在图上添加一个新顶点并分析其对彩虹顶点连通数的影响，利用对 $ n $ 的归纳法证明上界 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) \leq n-1 $。
• 利用引理1：若在图 $ G $ 中添加一个与至少 $ n - rvc(G) $ 个顶点相邻的新顶点，则彩虹顶点连通数不会增加。
• 通过穷举分析所有可能的连通图及其补图，建立 $ n = 5 $ 的基础情况。
• 构造显式图族，使得 $ G $ 和 $ \overline{G} $ 的直径均为2，从而实现 $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $，证明下界是紧致的。
• 利用 $ rvc(G) = 1 $ 当且仅当 $ \text{diam}(G) = 2 $，且 $ rvc(G) = 0 $ 仅当图为完全图的性质，指导极值图的构造。
• 通过验证：对路径图 $ P_n $，有 $ rvc(P_n) = n-2 $ 且 $ rvc(\overline{P_n}) = 1 $，从而得到和为 $ n-1 $，验证其极值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ G $ 与 $ \overline{G} $ 均为连通图且 $ n \geq 5 $ 时，$ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 的最佳可能上界是什么？
• RQ2 在相同条件下，$ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 的最佳可能下界是什么？
• RQ3 对所有 $ n \geq 5 $，上下界是否可以同时达到？
• RQ4 是否存在图的构造使得 $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $，即两者直径均为2？
• RQ5 添加一个新顶点对图及其补图的彩虹顶点连通数有何影响？

主要发现

• 对所有满足 $ n \geq 5 $ 的连通图 $ G $ 及其补图 $ \overline{G} $，和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 的上界为 $ n-1 $，且该界是紧致的。
• 对所有满足 $ n \geq 5 $ 的连通图 $ G $ 及其补图 $ \overline{G} $，和 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 的下界为2，且该界也是紧致的。
• 对 $ n \geq 5 $，存在图 $ G $ 使得 $ rvc(G) = n-2 $ 且 $ rvc(\overline{G}) = 1 $，从而达到上界 $ n-1 $，如路径图 $ P_n $ 及其补图所示。
• 对 $ n \geq 5 $，存在图 $ G $ 使得 $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $，当且仅当 $ G $ 与 $ \overline{G} $ 的直径均为2时实现，证明了下界的最优性。
• 上界通过归纳法及一个关键引理证明：若添加的顶点与至少 $ n - rvc(G) $ 个顶点相邻，则彩虹顶点连通数保持不变。
• 下界通过构造中心顶点连接两个不相交团的图实现，确保直径为2，从而保证 $ G $ 与 $ \overline{G} $ 的 $ rvc $ 均为1。