[论文解读] Normal class and normal lines of algebraic hypersurfaces

Alfrederic Josse, Françoise Pène|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文引入了复化射影空间中代数超曲面的法类，定义为通过一般点的法线数量。利用法极线与施普伦格尔计数法，推导出光滑超曲面的一般法类公式：$ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k $，给出度数与维数的显式值，并通过交点重数将该公式推广至奇异曲面。

ABSTRACT

We are interested in the normal class of an algebraic hypersurface Z of the complex projective space P^n, that is the number of normal lines to Z passing through a generic point of P^n. Thanks to the notion of normal polar, we state a formula for the normal class valid for a general hypersurface Z of P^n. We give a generic result and we illustrate our formula with examples in P^n. We define the orthogonal indidence variety and compute the Schubert class of the variety of projective normal lines to a surface of P^3 in the Show ring of G(1,3). We complete our work with a generalization of Salmon's formula for the normal class of a Plucker curve to any planar curve with any kind of singularity.

研究动机与目标

• 定义并计算复化射影空间 $\mathbb{P}^n$ 中代数超曲面的法类，即通过一般点的法线数量。
• 将萨蒙关于普吕克曲线的公式推广至具有任意奇点的平面曲线。
• 利用正交关联流形与格拉斯曼流形 $\mathbb{G}(1,n)$ 中的施普伦格尔计数法，研究射影法线的几何性质。
• 为具有孤立奇点的超曲面建立法类公式，考虑基点与交点重数。

提出的方法

• 引入法极线 $\mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}$ 的概念，即满足 $A$ 位于法线 $\mathcal{N}_m(\mathcal{Z})$ 上的点 $m$ 的集合。
• 定义映射 $\alpha_{\mathcal{Z}}: \mathbb{P}^n \setminus \mathcal{B}^{(0)}_{\mathcal{Z}} \to \mathbb{P}^{\frac{n(n+1)}{2}-1}$，将点 $m$ 映射为其法线 $\mathcal{N}_m(\mathcal{Z})$。
• 将基点 $\mathcal{B}_{\mathcal{Z}} = \mathcal{B}^{(0)}_{\mathcal{Z}} \cap \mathcal{Z}$ 特征化为奇点、与 $\mathcal{H}^\infty$ 的切点，以及 $\mathcal{Z}_\infty$ 与脐点 $\mathcal{U}_\infty$ 的切点之并。
• 在 $\mathbb{G}(1,n)$ 中使用施普伦格尔计数法计算法线族的施普伦格尔类 $\mathfrak{n}_{\mathcal{Z}}$。
• 应用交点理论，将法类计算为 $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k - \sum_{P \in \mathcal{B}_{\mathcal{Z}}} i_P(\mathcal{Z}, \mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}) $，其中 $A$ 为一般点。
• 通过 $\mathbf{V} = (\mathbf{E}_n \oplus \mathbb{R}) \otimes \mathbb{C}$ 上的双线性型建立射影正交性，定义 $\mathbb{P}^n$ 中直线与超平面之间的正交关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^n$ 中，通过一般点的光滑超曲面 $\mathcal{Z} \subset \mathbb{P}^n$ 的法线数量是多少？
• RQ2 当 $\mathcal{Z}$ 具有孤立奇点或与无穷远超平面相切时，法类如何变化？
• RQ3 萨蒙关于普吕克曲线法类的公式能否推广至奇异平面曲线？
• RQ4 $\mathbb{P}^3$ 中曲面的射影法线族的施普伦格尔类是什么？
• RQ5 与切超平面相比，法线在 $PGL(n,\mathbb{C})$ 作用下不具不变性，这对法线研究有何影响？

主要发现

• 对于在 $\mathbb{P}^n$ 中度数 $d_{\mathcal{Z}} \geq 2$ 且不与 $\mathcal{H}^\infty$ 相切、在无穷远处横截相切的光滑超曲面 $\mathcal{Z}$，其法类为 $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k $。
• 对于二次曲面（$d_{\mathcal{Z}} = 2$），法类为 $c_{\nu}(\mathcal{Z}) = n$，且当 $n=2$ 时为 $d_{\mathcal{Z}}$。
• 在 $\mathbb{P}^3$ 中，法类为 $d_{\mathcal{Z}}^3 - d_{\mathcal{Z}}^2 + d_{\mathcal{Z}}$；在 $\mathbb{P}^4$ 中，为 $d_{\mathcal{Z}}^4 - 2d_{\mathcal{Z}}^3 + 2d_{\mathcal{Z}}^2$。
• 当 $n=5$ 时，法类为 $d_{\mathcal{Z}}^5 - 3d_{\mathcal{Z}}^4 + 4d_{\mathcal{Z}}^3 - 2d_{\mathcal{Z}}^2 + d_{\mathcal{Z}}$。
• 除 $\mathcal{H}^\infty$ 外，超平面 $\mathcal{H} \subset \mathbb{P}^n$ 的法类为 $c_{\nu}(\mathcal{H}) = 1$。
• 具有孤立奇点的超曲面法类的一般公式包含一个修正项：$ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k - \sum_{P \in \mathcal{B}_{\mathcal{Z}}} i_P(\mathcal{Z}, \mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}) $，其中 $i_P$ 为基点处的交点重数。