[论文解读] Normal forms in Poisson geometry

Ioan Mărcuț|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用 7

一句话总结

本论文通过几何、代数和分析方法，在泊松几何中建立了四个局部标准型定理。它证明了关于泊松子流形的正式等价性结果（定理3）和刚性定理（定理4），采用纳什-莫泽方法，从而首次计算出在维度≥3时，紧致半单李代数的李-泊松球面的泊松模形式空间（定理5）。

ABSTRACT

This thesis studies normal forms for Poisson structures around symplectic leaves using several techniques: geometric, formal and analytic ones. One of the main results (Theorem 2) is a normal form theorem in Poisson geometry, which is the Poisson-geometric version of the Local Reeb Stability (from foliation theory) and of the Slice Theorem (from equivariant geometry). The result generalizes Conn's theorem from fixed points to arbitrary symplectic leaves. We present two proofs of this result: a geometric one relying heavily on the theory of Lie algebroids and Lie groupoids (similar to the new proof of Conn's theorem by Crainic and Fernandes), and an analytic one using the Nash-Moser fast convergence method (more in the spirit of Conn's original proof). The analytic approach gives much more, we prove a local rigidity result (Theorem 4) around compact Poisson submanifolds, which is the first of this kind in Poisson geometry. Theorem 4 has a surprising application to the study of smooth deformation of Poisson structures: in Theorem 5 we compute the Poisson-moduli space around the Lie-Poisson sphere (i.e. the invariant unit sphere inside the linear Poisson manifold corresponding to a compact semisimple Lie algebra). This is the first such computation of a Poisson moduli space in dimension greater or equal to 3 around a degenerate (i.e. non-symplectic) Poisson structure. Other results presented in the thesis are: a new proof to the existence of symplectic realizations (Theorem 0), a normal form theorem for symplectic foliations (Theorem 1), a formal normal form/rigidity result around Poisson submanifolds (Theorem 3), and a general construction of tame homotopy operators for Lie algebroid cohomology (the Tame Vanishing Lemma). We also revisit Conn's theorem and a theorem of Hamilton on rigidity of foliations.

研究动机与目标

• 在辛叶和泊松子流形附近建立泊松结构的局部标准型定理。
• 通过余切路径和横截面，发展一种关于辛实现存在性的新方法。
• 利用分次李代数和良好上同调，证明泊松子流形附近的泊松结构的正式等价性和刚性结果。
• 计算紧致半单李代数的李-泊松球面的光滑形变空间（模形式空间），这是在维度≥3时的首次此类计算。
• 将黎布稳定性与 holonomy 群胚技术推广至泊松叶层结构，并证明 holonomy 群胚的豪斯多夫性准则。

提出的方法

• 使用几何方法，包括莫泽路径法和李代数胚的可积性，证明在辛叶附近的标准型。
• 应用范艾斯特映射和李群胚的可微上同调，将辛实现与余切路径的几何联系起来。
• 利用形式幂级数展开和形式向量场代数，证明关于泊松子流形附近的正式等价性定理3。
• 通过良好同伦算子和良好上同调使用纳什-莫泽方法，证明分析刚性（定理4），依赖于哈密顿的良好消失引理。
• 从余切路径空间中的横截面构造辛实现，将可积性问题约化为“良好”实现的存在性。
• 应用博特联络和 holonomy 表示，定义在法丛上的作用，从而在第一阶上同调中应用良好消失引理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，泊松流形允许存在辛实现？如何几何地构造此类实现？
• RQ2 泊松结构在辛叶附近的局部标准型是什么？它如何依赖于一阶数据？
• RQ3 在泊松子流形附近，泊松结构能否按微分同胚关系进行形式分类？会出现何种障碍？
• RQ4 在光滑形变下，泊松结构在泊松子流形附近是否具有刚性？何种分析工具可证明此类刚性？
• RQ5 紧致半单李代数的李-泊松球面的光滑形变模形式空间的结构是什么？

主要发现

• 定理2在辛叶附近建立了泊松结构的局部标准型，将标准线性化结果推广至任意泊松流形。
• 定理4利用纳什-莫泽方法证明了泊松子流形附近的分析刚性，意味着对定理2的强化。
• 定理5计算了紧致半单李代数的李-泊松球面的光滑形变空间（模形式空间），表明其为有限维，并通过泊松上同调显式描述。
• 通过在余切路径流形中使用横截面的新构造，确立了辛实现的存在性，为长期存在的问题提供了几何解法。
• 证明了紧致、豪斯多夫的辛叶层结构的 holonomy 群胚是豪斯多夫且恰当的，当且仅当叶空间是豪斯多夫的。
• 将良好消失引理应用于叶层结构的博特复形，使得良好同伦算子的构造成为可能，并证明了在相关设定下第一阶上同调的消失。