[论文解读] Normal Functions and the Geometry of Moduli Spaces of Curves

Richard Hain|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 69

一句话总结

本文利用模曲线空间上雅可比丛的全纯截面（即正规函数）研究模空间的几何性质，特别关注其上同调不变量与曲率性质。本文解决了Eliashberg关于除子型正规函数下拉零截面的有理上同调类问题，并证明Moriwaki除子在紧致类型局部的任意完备曲线上具有非负次数，其结果通过曲率形式的正性推导出斜率不等式。

ABSTRACT

In this paper normal functions (in the sense of Griffiths) are used to solve and refine geometric questions about moduli spaces of curves. The first application is to a problem posed by Eliashberg: compute the class in the cohomology of M_{g,n}^c of the pullback of the zero section of the universal jacobian along the section that takes [C;x_1,...,x_n] to Sum d_j x_j in Jac (C), where d_1 + ... + d_n = 0. The second application is to slope inequalities of the type discovered by Moriwaki. There is also a discussion of height jumping and its relevance to slope inequalilties.

研究动机与目标

• 计算在紧致类型模空间上，全纯雅可比丛的零截面沿稳定曲线模空间的下拉有理上同调类。
• 为曲线模空间中的斜率不等式（特别是Moriwaki不等式）提供一种新的上同调方法。
• 证明Moriwaki除子在紧致类型局部的所有完备曲线上具有非负次数，并猜想其在完整模空间去掉边界后也保持非负性。
• 通过李代数上同调与基本群的完备化，探讨正规函数及其特征类在模空间塔托洛吉上同调中的作用。

提出的方法

• 本文利用正规函数 $ \nu $ 的特征类 $ c(\nu) \in H^1(T, \mathbb{V}) $ 将其与上同调和曲率联系起来，利用当 $ H^0(T, \mathbb{V}_\mathbb{Q}) = 0 $ 时，$ \nu $ 模 torsion 由 $ c(\nu) $ 唯一确定的事实。
• 在相对雅可比丛 $ J(\mathbb{V}) $ 上构造双扩张线丛 $ \mathcal{B} $，其曲率代表了德拉姆类 $ S \circ c(\nu)^2 \in H^2(T, \mathbb{Q}) $，当 $ S $ 为极化形式时，该类为非负的 (1,1)-形式。
• 关键的技术工具是通过李代数上同调识别Torelli群及其完备化的上同调：$ \operatorname{Ext}^\bullet_{\sf{MHS}_{g,n}}(\mathbb{Q}(0), \mathbb{V}) \cong H^\bullet(\mathfrak{u}_{C,P}, V_{C,P})^{\mathfrak{sp}(H_1(C))} $。
• 本文利用自然同态 $ \Gamma_{C,P} \to \mathcal{G}_{C,P}(\mathbb{Q}) $ 及其对应的李代数扩张 $ 0 \to \mathfrak{u}_{C,P} \to \mathfrak{g}_{C,P} \to \mathfrak{sp}(H_1(C)) \to 0 $，将正规函数与代数 $ A_{g,n}^\bullet $ 联系起来。
• 通过 $ \mathfrak{u}_{C,P} $ 的第二权格次 quotient 中德恩扭转的像，计算边界除子类 $ \delta_h^P $ 的系数。
• 本文分析了双扩张线丛在紧化上的延拓中的‘高度跳跃’现象，表明即使丛自然延拓，其度量在余维数 ≥2 处也可能奇异，从而影响曲率形式的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿度为零除子 $ \sum d_j [x_j] $ 定义的截面，全纯雅可比丛在 $ \mathcal{M}_{g,n}^{c} $ 上的零截面下拉的有理上同调类是什么？
• RQ2 Moriwaki斜率不等式是否可由与正规函数相关的曲率形式的正性导出？
• RQ3 Moriwaki除子 $ M $ 是否在 $ \overline{\mathcal{M}}_g $ 中所有避开边界 $ \Delta_0 $ 的完备曲线上具有非负次数？
• RQ4 正规函数及其特征类如何与 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 的塔托洛吉上同调相关联？
• RQ5 基本群 $ \Gamma_{C,P} $ 的完备化及其李代数 $ \mathfrak{g}_{C,P} $ 在分类Hodge结构变化与正规函数中的作用是什么？

主要发现

• 沿除子截面 $ F_{\mathbf{d}} $ 的零截面下拉的有理上同调类，可用 $ \mathcal{M}_{g,n}^{c} $ 上的基本正规函数表示，从而解决了Eliashberg的问题。
• Moriwaki除子 $ M = (8g+4)\lambda_1 - g\delta_0 - 4\sum_{h=1}^{\lfloor g/2\rfloor} h(g-h)\delta_h $ 在 $ \mathcal{M}_g^{c} $ 的所有完备曲线上具有非负次数，这是曲率形式 $ S \circ c(\nu)^2 $ 半正性的直接推论。
• $ S \circ c(\nu)^2 $ 是双扩张线丛曲率的自然德拉姆代表，当 $ S $ 为极化形式时，其为非负的 (1,1)-形式。
• 在 $ \nu^*\phi_V $ 的公式中，边界除子类 $ \delta_h^P $ 的系数由德恩扭转在 $ \mathfrak{u}_{C,P} $ 的第二权格次 quotient 中的像决定。
• 双扩张线丛在紧化上的延拓表现出‘高度跳跃’现象，即尽管丛自然延拓，其度量在余维数 ≥2 处仍可能奇异。
• 模空间 $ \mathcal{M}_{g,n} $ 上的混合Hodge结构范畴等价于李代数 $ \mathfrak{g}_{C,P} $ 的Hodge表示范畴，且扩张由李代数上同调控制。