[论文解读] Normal homogeneous Finsler spaces

Ming Xu, Shaoqiang Deng|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文通过Finsler度量的等距子射，引入了正规齐性Finsler空间，建立了一种将正曲率此类空间的分类问题转化为代数问题的方法。关键结果是：共轭空间 $G/H$ 拥有正曲率的正规齐性Finsler度量，当且仅当它拥有正曲率的正规齐性黎曼度量，且提供了非黎曼例子的完整分类。

ABSTRACT

In this paper, we study normal homogeneous Finsler spaces. We first define the notion of a normal homogeneous Finsler space, using the method of isometric submersion of Finsler metrics. Then we study the geometric properties. In particular, we establish a technique to reduce the classification of normal homogeneous Finsler spaces of positive flag curvature to an algebraic problem. The main result of this paper is a classification of positively curved normal homogeneous Finsler spaces. It turns out that a coset space $G/H$ admits a positively curved normal homogeneous Finsler metric if and only if it admits a positively curved normal homogeneous Riemannian metric. We will also give a complete description of the coset spaces admitting non-Riemannian positively curved normal homogeneous Finsler spaces.

研究动机与目标

• 通过定义正规齐性Finsler空间，将正规齐性黎曼流形的理论扩展至Finsler几何。
• 建立正规齐性Finsler空间的几何性质，特别关注旗曲率。
• 对所有具有正旗曲率的正规齐性Finsler空间进行分类。
• 识别并描述所有允许非黎曼、正曲率的正规齐性Finsler度量的共轭空间。
• 利用等 isotropy 表示和特征值分析，将分类问题简化为代数条件。

提出的方法

• 通过李群上双不变度量的Finsler度量等距子射，定义正规齐性Finsler空间，推广黎曼情形。
• 使用相对于 $\mathfrak{g}$ 上双不变内积的正交分解 $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \mathfrak{m}$，在 $G/H$ 上诱导出 $G$-不变的Finsler度量。
• 应用Finsler几何中等距子射的理论，定义Finsler情形下的正规性。
• 分析 $\mathfrak{m}$ 上的等 isotropy 表示 $\mathrm{ad}(\mathfrak{h})$，以研究曲率和不变性性质。
• 构造 $\mathfrak{m}$ 中向量的显式单参数族 $v(t)$，以检验条件 (R)，确保对 $t \neq 0$ 且 $|t|$ 较小时，特征值序列线性无关，从而排除某些非黎曼度量。
• 利用 $\mathfrak{su}(n)$、$\mathfrak{sp}(n)$、$\mathfrak{so}(9)$ 和 $\mathfrak{su}(5)$ 中的根系分析与矩阵表示，系统地构造这些族。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些共轭空间 $G/H$ 允许具有正旗曲率的正规齐性Finsler度量？
• RQ2 能否将正曲率正规齐性Finsler空间的分类问题简化为代数问题？
• RQ3 正曲率正规齐性Finsler度量的存在性与同一共轭空间上正曲率黎曼度量的存在性之间有何关系？
• RQ4 哪些正规齐性Finsler空间是非黎曼的，但仍具有正旗曲率？
• RQ5 等 isotropy 表示对这些空间中不变Finsler度量施加了何种结构约束？

主要发现

• 共轭空间 $G/H$ 拥有正曲率的正规齐性Finsler度量，当且仅当它拥有正曲率的正规齐性黎曼度量。
• 允许非黎曼、正曲率的正规齐性Finsler度量的共轭空间的完整列表包括 $\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SU}(n-1)$、$\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)$、$\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)$、$\mathrm{Sp}(n)S^1/\mathrm{Sp}(n-1)S^1$、$\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)/\mathrm{Sp}(n-1)\mathrm{Sp}(1)$、$\mathrm{G}_2/\mathrm{SU}(3)$、$\mathrm{Spin}(7)/\mathrm{G}_2$ 和 $\mathrm{Spin}(9)/\mathrm{Spin}(7)$。
• 对于空间 $\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SU}(n-1)$、$\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)$、$\mathrm{Sp}(n)/\mathrm{Sp}(n-1)$ 和 $\mathrm{Sp}(n)S^1/\mathrm{Sp}(n-1)S^1$，所有不变Finsler度量均为 $(\alpha,\beta)$-度量。
• 对于 $\mathrm{Sp}(n)\mathrm{Sp}(1)/\mathrm{Sp}(n-1)\mathrm{Sp}(1)$，所有不变Finsler度量均为 $(\alpha_1,\alpha_2)$-度量。
• 例外情形 $\mathrm{SU}(3)\times\mathrm{SO}(3)/\mathrm{U}^*(2)$、$\mathrm{Sp}(2)/\mathrm{SU}(2)$ 和 $\mathrm{SU}(5)/\mathrm{Sp}(2)S^1$ 是唯一不属于标准 $(\alpha,\beta)$ 或 $(\alpha_1,\alpha_2)$ 类别的非黎曼例子。
• 对于所列的每个非黎曼例子，构造 $\mathfrak{m}$ 中的单参数族 $v(t)$，使得 $v(0)$ 与 $v(t)$ ($t \neq 0$，$|t|$ 较小) 的特征值序列线性无关，从而确认条件 (R) 失效，排除了某些度量类型。