[论文解读] Normal Subgroup Based Power Graph of a finite Group

A. K. Bhuniya, Sudip Bera|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入了有限群 G 关于正规子群 H 的基于正规子群的幂图 Γₕ(G)，通过陪集幂关系定义边。建立了 Γₕ(G) 的图论性质与商群 G/H 的群论性质之间的关键联系，证明了：Γₕ(G) 是完全图当且仅当 G/H 是平凡群或阶为 p^m 的群；平面图当且仅当 |H| ∈ {2,3} 且 G/H 是初等阿贝尔 2-群；欧拉图当且仅当 |G| ≡ |H| (mod 2)。

ABSTRACT

For a finite group $G$ with a normal subgroup $H$, the normal subgroup based power graph of $G$, denoted by $Γ_H(G)$ whose vertex set $V(Γ_H(G))=(G\setminus H)\bigcup \{e\}$ and two vertices $a$ and $b$ are edge connected if $aH=b^mH$ or $bH=a^nH$ for some $m, n \in \mathbb{N}$. In this paper we obtain some fundamental characterizations of the normal subgroup based power graph. We show some relation between the graph $Γ_H(G)$ and the power graph $Γ(\frac{G}{H})$. We show that $Γ_H(G)$ is complete if and only of $\frac{G}{H}$ is cyclic group of order $1$ or $p^m$, where $p$ is prime number and $m\in \mathbb{N}$. $Γ_H(G)$ is planar if and only if $|H|=2$ or $3$ and $\frac{G}{H}\cong \mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2 imes \cdots imes \mathbb{Z}_2$. Also $Γ_H(G)$ is Eulerian if and only if $|G|\equiv |H|$ mod$ 2$.

研究动机与目标

• 通过引入基于正规子群的新图构造，推广幂图的概念。
• 研究 Γₕ(G) 的图论性质与商群 G/H 的群论性质之间的关系。
• 刻画 Γₕ(G) 的基本性质，包括完全性、平面性、欧拉性及连通性。
• 计算 Γₕ(G) 的关键不变量，如团数、色数和顶点连通度。

提出的方法

• 定义基于正规子群的幂图 Γₕ(G)，其顶点集为 (G \ H) ∪ {e}，其中 e 为单位元。
• 通过陪集幂关系建立邻接关系：a ~ b 当且仅当 aH = b^m H 或 bH = a^n H，其中 m,n ∈ ℕ。
• 利用商群 G/H 分析 Γₕ(G) 的结构性质，特别是通过同构关系和陪集动态。
• 证明 Γₕ(G) 是凯莱图当且仅当 G/H 是循环 p-群。
• 推导边数公式，团数 w(Γₕ(G)) = |H|(M−1)+1，其中 M = w(Γ(G/H))，以及色数 χ(Γₕ(G)) = w(Γₕ(G))。
• 通过删除整个陪集的顶点连通度论证，证明 κ(Γₕ(G)) = |H|(k−1)+1，其中 k = κ(Γ(G/H))。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，基于正规子群的幂图 Γₕ(G) 是完全图？G/H 的群论条件是什么？
• RQ2 在何种条件下，Γₕ(G) 是平面图？H 和 G/H 的结构如何影响这一性质？
• RQ3 Γₕ(G) 为欧拉图的充要条件是什么？
• RQ4 Γₕ(G) 的团数与色数如何与 G/H 的幂图的对应不变量相关？
• RQ5 Γₕ(G) 的顶点连通度是多少？它如何由 Γ(G/H) 的连通性决定？

主要发现

• Γₕ(G) 是完全图当且仅当 G/H 是平凡群或阶为 p^m 的群，其中 p 为素数且 m ∈ ℕ。
• Γₕ(G) 是平面图当且仅当 |H| ∈ {2,3} 且 G/H ≅ ℤ₂ × ℤ₂ × ⋯ × ℤ₂。
• Γₕ(G) 是欧拉图当且仅当 |G| ≡ |H| (mod 2)。
• Γₕ(G) 的团数为 w(Γₕ(G)) = |H|(M−1)+1，其中 M = w(Γ(G/H))。
• Γₕ(G) 的色数等于其团数，因此 χ(Γₕ(G)) = |H|(M−1)+1，证明了 Γₕ(G) 是完美图。
• Γₕ(G) 的顶点连通度为 |H|(k−1)+1，其中 k = κ(Γ(G/H))。