[论文解读] Normal weighted composition operators on the Hardy space

Paul Bourdon, Sivaram K. Narayan|ArXiv.org|Oct 7, 2009

Holomorphic and Operator Theory被引用 22

一句话总结

本文表征了 Hardy 空间 $H^2(\mathbb{U})$ 上的正规与酉加权复合算子，表明每个单位圆盘的自同构均通过适当的权函数诱导出一个酉加权复合算子。对于诱导映射在 $\mathbb{U}$ 中固定一点的正规算子，权函数 $\psi$ 与符号 $\varphi$ 必须均为分式线性变换，并为这类算子提供了谱表征。

ABSTRACT

Let g be an analytic function on the open unit disc U such that g(U) is contained in U, and let h be an analytic function on U such that the weighted composition operator W_{h,g) defined by W_{h,g}f = h f(g) is bounded on the Hardy space H^2. We characterize those weighted composition operators on H^2 that are unitary, showing that in contrast to the unweighted case (h=1), every automorphism of U induces a unitary weighted composition operator. A conjugation argument, using these unitary operators, allows us to describe all normal weighted composition operators on H^2 for which the inducing map g fixes a point in U. This description shows both h and g must be linear fractional in order for W_{h,g} to be normal (assuming g fixes a point in U). In general, we show that if W_{h, g} is normal on H^2 and h is not the zero function, then g must be either univalent on U or constant. Descriptions of spectra are provided for the operator W_{h,g} when it is unitary or when it is normal and g fixes a point in U.

研究动机与目标

• 表征 $H^2(\mathbb{U})$ 上所有加权复合算子 $W_{\psi,\varphi}$ 的酉性，扩展至未加权情形下仅旋转诱导酉算子的情况。
• 描述当诱导映射 $\varphi$ 固定在开单位圆盘 $\mathbb{U}$ 中一点时，$H^2(\mathbb{U})$ 上所有正规加权复合算子的特征。
• 确定 $W_{\psi,\varphi}$ 正规时 $\psi$ 与 $\varphi$ 的必要条件，表明当 $W_{\psi,\varphi}$ 正规且 $\psi \not\equiv 0$ 时，$\varphi$ 必须是单值或常值，且 $\psi$ 非零。
• 在指定条件下，为酉与正规加权复合算子提供谱表征。
• 统一能产生酉、自伴或正规算子的权函数 $\psi$ 的形式，并确定此类 $\psi$ 与分式线性 $\varphi$ 配对时产生正规算子的条件。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{U}$ 的自同构诱导的酉复合算子进行共轭，将正规性问题约化为 $\varphi$ 固定 $\mathbb{U}$ 中一点的情形。
• 应用 $H^2(\mathbb{U})$ 中再生核理论，特别是核函数 $K_a(z) = \frac{1}{1 - \bar{a}z}$，以分析伴随算子与正规性条件。
• 利用 Cowen 的辅助函数 $\sigma$（与分式线性 $\varphi$ 相关）表达 $C_\varphi$ 的伴随算子，并推导 $W_{\psi,\varphi}^*W_{\psi,\varphi} = W_{\psi,\varphi}W_{\psi,\varphi}^*$ 的条件。
• 推导并分析命题 12 中的算子恒等式 (15)，该恒等式将涉及 $\sigma \circ \varphi$ 与 $\varphi \circ \sigma$ 的两个加权复合算子等同，以确定正规性。
• 利用 Denjoy-Wolff 定理将分析简化为 $\varphi$ 固定边界点的情形，并分别考虑抛物型与双曲型。
• 应用文献 [1] 中关于本质正规性的结果，表明当 $\psi$ 在 $\overline{\mathbb{U}}$ 上光滑时，非自同构的分式线性映射若满足 $\varphi'({\omega}) < 1$，则无法诱导正规算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $H^2(\mathbb{U})$ 上的加权复合算子 $W_{\psi,\varphi}$ 是酉的？$\psi$ 与 $\varphi$ 需满足何种条件才能保证酉性？
• RQ2 当 $\varphi$ 固定 $\mathbb{U}$ 中一点时，何种条件下会产生正规加权复合算子 $W_{\psi,\varphi}$？$\psi$ 与 $\varphi$ 必须具有何种形式？
• RQ3 何种谱性质可表征 $H^2(\mathbb{U})$ 上的酉与正规加权复合算子？
• RQ4 当 $\psi$ 在 $\overline{\mathbb{U}}$ 上光滑时，非自同构的分式线性自映射 $\varphi$ 是否可能诱导正规加权复合算子 $W_{\psi,\varphi}$？
• RQ5 产生酉、自伴与正规算子的权函数 $\psi$ 具有怎样的共同结构形式？

主要发现

• 每个 $\mathbb{U}$ 的自同构 $\varphi$ 均通过依赖于 $\varphi$ 的特定权函数 $\psi$，在 $H^2(\mathbb{U})$ 上诱导出一个酉加权复合算子 $W_{\psi,\varphi}$，这与未加权情形下仅旋转产生酉算子的情况形成对比。
• 若 $W_{\psi,\varphi}$ 在 $H^2(\mathbb{U})$ 上正规且 $\varphi$ 固定 $\mathbb{U}$ 中一点，则 $\psi$ 与 $\varphi$ 必须均为分式线性变换。
• 当 $\varphi$ 固定 $\mathbb{U}$ 中一点时，$W_{\psi,\varphi}$ 正规的充要条件是权函数 $\psi$ 具有形式 $\psi(z) = \rho K_{\sigma(0)}(z)$，其中 $\sigma$ 是 $\varphi$ 对应的 Cowen 辅助函数。
• $W_{\psi,\varphi}$ 正规当且仅当条件 (15) 成立，该条件将涉及 $\sigma \circ \varphi$ 与 $\varphi \circ \sigma$ 的两个加权复合算子等同。
• 当 $\psi$ 在 $\overline{\mathbb{U}}$ 上连续可微时，任何非自同构的双曲型分式线性映射 $\varphi$（满足 $\varphi'({\omega}) < 1$）均无法诱导正规算子 $W_{\psi,\varphi}$，原因在于其本质非正规性。
• 酉与正规加权复合算子的谱被明确表征：对于酉算子，谱位于单位圆上；对于固定 $\mathbb{U}$ 中一点的正规算子，谱由关联分式线性变换的特征值决定。