[论文解读] Normalisation by Evaluation for Type Theory, in Type Theory

Thorsten Altenkirch, Ambrus Kaposi|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Logic, programming, and type systems被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于商归纳类型（quotient inductive types）和证明相关逻辑谓词的依赖类型理论的归约到求值（NBE）类型论形式化，该逻辑谓词统一了预层语义与逻辑关系。主要贡献是通过归约到中性形式和正规形式，构造性地证明了定义等式可判定性，整个形式化在 Agda 中完成，具备完整的类型安全性和完备性。

ABSTRACT

We develop normalisation by evaluation (NBE) for dependent types based on presheaf categories. Our construction is formulated in the metalanguage of type theory using quotient inductive types. We use a typed presentation hence there are no preterms or realizers in our construction, and every construction respects the conversion relation. NBE for simple types uses a logical relation between the syntax and the presheaf interpretation. In our construction, we merge the presheaf interpretation and the logical relation into a proof-relevant logical predicate. We prove normalisation, completeness, stability and decidability of definitional equality. Most of the constructions were formalized in Agda.

研究动机与目标

• 为依赖类型理论开发一种完全内置于类型论中的归约到求值构造。
• 将预层语义与逻辑关系统一为单一的证明相关逻辑谓词。
• 通过正规形式上的双向方法，建立定义等式可判定性。
• 在 Agda 中使用商归纳类型对语法进行形式化，完整实现该构造。
• 确保所有构造尊重可转换性，并在整个过程中保持类型安全性。

提出的方法

• 语法被定义为一个商归纳类型（QIT），用于良定义类型的项，其模去定义等式。
• 构造了一个证明相关的逻辑谓词，将预层模型与逻辑关系合并为一个类型索引的家族。
• 通过一个基本定理定义归约，将逻辑谓词提升为从项到正规形式的函数。
• 利用逻辑谓词的性质和 unquote 操作，证明归约函数的完备性。
• 通过在正规形式上判定等式并组合归约过程，推导出等式可判定性。
• 通过中性形式和正规形式的互递归归纳，证明稳定性和一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用商归纳类型在类型论中完全内化依赖类型的归约到求值？
• RQ2 如何将预层模型与逻辑关系合并为单一的证明相关逻辑谓词？
• RQ3 NBE 构造是否意味着依赖类型理论中定义等式的可判定性？
• RQ4 该构造能否在 Agda 中形式化，同时保持类型安全性和可转换性？
• RQ5 双向方法在实现等式可判定性中起到什么作用？

主要发现

• 归约函数是完备的：每个项都被映射到一个与原项定义等价的正规形式。
• 定义等式是可判定的，因为正规形式上的等式是可判定的，且归约是完备的。
• 该构造是稳定的：对正规形式进行归约会得到相同的正规形式。
• 逻辑谓词是证明相关的，并尊重可转换性，确保所有函数都是类型安全的。
• 在 Agda 中的形式化确认了构造的正确性，具备完整的类型安全性。
• 通过中性形式和正规形式的互递归归纳，建立了类型理论的一致性，表明没有任何项能属于一个假类型。