[论文解读] Normality conditions of structures in coarse geometry and an alternative description of coarse proximities

Pawel Grzegrzolka, Jeremy Siegert|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于粗邻域的粗逼近的替代表征方式，并证明：连通的粗空间当且仅当其为粗正规时，会诱导出粗逼近。作者证明了粗正规性、大规模正规性（Dydak-Weighill）与渐近正规性（Dranishnikov）之间的等价性，推广了此前在度量空间上的结果，并表明粗逼近自然地源于粗正规结构。

ABSTRACT

We introduce an alternative description of coarse proximities. We define a coarse normality condition for connected coarse spaces and show that this definition agrees with large scale normality defined in [3] and asymptotic normality defined in [7]. We utilize the alternative definition of coarse proximities to show that a connected coarse space naturally induces a coarse proximity if and only if the connected coarse space is coarsely normal. We conclude with showing that every connected asymptotic resemblance space induces a coarse proximity if and only if the connected asymptotic resemblance space is asymptotically normal.

研究动机与目标

• 提供一种基于邻域的粗逼近的替代定义，避免依赖于邻域系或覆盖。
• 在连通粗空间中定义并分析粗正规性，并将其与现有的大规模正规性与渐近正规性概念相联系。
• 建立粗空间或渐近相似空间自然诱导粗逼近的条件。
• 推广先前结果，表明度量空间可诱导粗逼近，并将其扩展至一般的粗结构与渐近相似结构。

提出的方法

• 基于在渐近相似关系下存在彼此接近的无界集，提出一种新的粗逼近定义。
• 通过如下性质定义粗正规性：对任意满足 A ≺ B 的无界集 A 和 B，存在有界集 D，使得 A∖D 与 B∖D 不是渐近不相交的。
• 利用渐近相似关系 λ 来刻画粗邻域，并推导出逼近关系 ≺ 的等价条件。
• 证明在连通空间中，粗正规性等价于大规模正规性（Dydak-Weighill）与渐近正规性（Dranishnikov）。
• 证明粗结构诱导粗逼近当且仅当该空间是粗连通且粗正规。
• 利用替代定义表明，当底空间为度量空间时，所诱导的逼近与度量粗逼近一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，粗空间会自然地诱导出粗逼近？
• RQ2 所提出的粗逼近替代定义与基于邻域系或覆盖的现有定义有何关系？
• RQ3 在连通粗空间中，粗正规性是否等价于大规模正规性与渐近正规性？
• RQ4 能否将度量粗逼近构造推广至度量空间之外的任意粗结构？
• RQ5 每个渐近相似空间是否都诱导出粗逼近，若是，需满足何种正规性条件？

主要发现

• 连通粗空间当且仅当其为粗正规时，会诱导出粗逼近，且当空间为度量空间时，所诱导的逼近与度量粗逼近一致。
• 粗正规性等价于 Dydak 和 Weighill 定义的大规模正规性，建立了粗几何中不同正规性概念之间的桥梁。
• 粗正规性在 Dydak-Weighill 意义下也等价于 Dranishnikov 定义的渐近正规性，统一了不同框架下的概念。
• 基于粗邻域的粗逼近替代定义，相较于以往方法，提供了更直观且几何上更透明的表征。
• 渐近相似空间当且仅当其为渐近正规且连通时，会诱导出粗逼近，推广了度量情形。
• 提供了三种等价的所诱导粗逼近表征方式：通过邻域系、通过无界渐近接近子集，以及通过所有有界集上的统一交集。