[论文解读] Normalization conventions for Newton's constant and the Planck scale in arbitrary spacetime dimension

Sean P. Robinson|ArXiv.org|Sep 17, 2006

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文推导了在 $d$ 时空维度下，牛顿常数 $G_{\rm N}$ 与爱因斯坦-希尔伯特作用量系数 $\mathscr{K}^{-2}$ 之间的精确关系，表明 $\mathscr{K}^2 = 2\frac{d-2}{d-3}\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}$。它提出了一个基于物理动机的相对论性约化普朗克尺度 $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$，该尺度同时考虑了几何与相对论效应，在 $d=4$ 时可比标准约化普朗克尺度小多达 50%，对高维引力现象学具有重要意义。

ABSTRACT

We calculate, in d spacetime dimensions, the relationship between the coefficient 1/K^2 of the Einstein-Hilbert term in the action of general relativity and the coefficient G_N of the force law that results from the Newtonian limit of general relativity. The result is K^2=2[(d-2)/(d-3)]Vol(S^[d-2])G_N, where Vol(S^n) is the volume of the unit n-sphere. While the d=4 case is an elementary calculation in any general relativity text, the arbitrary case presented here is slightly less well known. We discuss the relevance of this result for the definition of the so-called "reduced Planck mass" and comment very briefly on the implications for brane world models. [abstract abridged]

研究动机与目标

• 澄清牛顿常数 $G_{\rm N}$ 与爱因斯坦-希尔伯特作用量系数 $\mathscr{K}^{-2}$ 在任意时空维度 $d$ 下的归一化约定。
• 通过区分牛顿势耦合与度规微扰耦合，解决高维引力中普朗克尺度定义的模糊性。
• 论证 $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ 是广义相对论中物理上更基本的普朗克尺度，因为它控制了线性化度规微扰与物质的耦合。
• 量化 $\frac{d-2}{d-3}$ 因子在额外维粒子物理中维度分析的影响，特别是在膜世界情景中。

提出的方法

• 从线性化爱因斯坦方程推导出 $d$ 维下的牛顿加速度场，识别出耦合度规微扰与物质的系数 $\mathscr{K}^2$。
• 利用 $d$ 维下的高斯定律，将引力场线通量与 $(d-2)$-球面的表面积 $\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2}) = \frac{2\pi^{(d-1)/2}}{\Gamma((d-1)/2)}$ 关联，以确定 $1/r^{d-2}$ 的力定律。
• 将爱因斯坦-希尔伯特作用量的牛顿极限与现象学牛顿引力定律进行比较，推导出精确关系 $\mathscr{K}^2 = 2\frac{d-2}{d-3}\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}$。
• 定义相对论性约化普朗克尺度 $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$，并与忽略 $\frac{d-2}{d-3}$ 因子的标准约化普朗克尺度 $\hat{M}_{\rm P} = \left[\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}\right]^{1/(2-d)}$ 进行对比。
• 分析 $4 \leq d \leq 11$ 范围内 $\hat{M}_{\rm R}/M_{\rm P}$ 的比值，显示其在 $d=4$ 时为 $1/2$，在大 $d$ 时趋近于 1，表明在低维中存在显著但有界的抑制。
• 通过数值计算 $\mathbb{S}^{d-2}$ 的体积和 $\frac{d-2}{d-3}$ 因子，证明该相对论性修正在现象学模型中不可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d$ 时空维度下，爱因斯坦-希尔伯特作用量中的系数 $\mathscr{K}^{-2}$ 如何与牛顿常数 $G_{\rm N}$ 相关联？
• RQ2 为何标准约化普朗克尺度 $\hat{M}_{\rm P}$ 在高维引力中并非最根本的物理尺度？
• RQ3 关系式中 $\frac{d-2}{d-3}$ 因子的物理意义是什么？为何它在文献中常被省略？
• RQ4 相对论性约化普朗克尺度 $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ 与 $\hat{M}_{\rm P}$ 有何不同？这一差异的物理后果是什么？
• RQ5 该 $\mathscr{K}^2/G_{\rm N}$ 比值在额外维粒子物理中对朴素维度分析的破坏程度如何？

主要发现

• 牛顿-希尔伯特作用量系数与牛顿常数之间的精确关系为 $\mathscr{K}^2 = 2\frac{d-2}{d-3}\mathop{\mathrm{Vol}}(\mathbb{S}^{d-2})G_{\rm N}$，该关系将 $d=4$ 的情形推广至任意维度。
• 普朗克长度定义为 $\ell_{\rm P} = G_{\rm N}^{1/(d-2)}$，普朗克质量为 $M_{\rm P} = G_{\rm N}^{1/(2-d)}$，与标准惯例一致。
• 相对论性约化普朗克尺度 $\hat{M}_{\rm R} = \mathscr{K}^{2/(2-d)}$ 比 $\hat{M}_{\rm P}$ 更具物理基础，因为 $\mathscr{K}$ 控制了度规微扰与物质的耦合。
• $\hat{M}_{\rm R}/M_{\rm P}$ 的比值在 $d=4$ 时最大为 $1/2$，随 $d$ 增大趋近于 1，表明 $\hat{M}_{\rm R}$ 相对于 $M_{\rm P}$ 存在显著但有界的抑制。
• $\frac{d-2}{d-3}$ 因子常被文献省略，但其代表了相对论效应，导致 $\hat{M}_{\rm R}$ 显著小于 $\hat{M}_{\rm P}$，尤其在 $d=4$ 时恰好为一半。
• 对于 $4 \leq d \leq 11$，比值 $\hat{M}_{\rm R}/\hat{M}_{\rm P}$ 始终在数量级范围内，表明该差异在现象学上具有意义，但对维度估计的影响并非灾难性。