[论文解读] Normalization in integral models of Shimura varieties of Hodge type

Yujie Xu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文证明了霍奇型志村簇的积分模型可嵌入到西格尔模形式簇的积分模型中，成为一个闭浸入，从而使得其构造中的正规化步骤变得多余。关键结果表明霍奇嵌入是一个闭浸入，保持模形式解释，并意味着该积分模型本身已是光滑且正规的。

ABSTRACT

Let $(G,X)$ be a Shimura datum of Hodge type, and $\mathscr{S}_K(G,X)$ its integral model with hyperspecial (resp. parahoric, assuming the group is unramified) level structure. We prove that $\mathscr{S}_K(G,X)$ admits a closed embedding, which is compatible with moduli interpretations, into the integral model $\mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp},S^{\pm})$ for a Siegel modular variety. In particular, the normalization step in the construction of $\mathscr{S}_K(G,X)$ is redundant. In particular, our results apply to the earlier integral models constructed by Rapoport, Kottwitz etc. (resp. Rapoport-Zink etc.), as those models agree with the Hodge type integral models for appropriately chosen Shimura data. Moreover, combined with a result of Lan's on the boundary components of toroidal compactifications of integral models, our result also implies that there exist closed embeddings of toroidal compactifications of integral models of Hodge type into toroidal compactifications of Siegel integral models, for suitable choices of cone decompositions.

研究动机与目标

• 证明霍奇型志村簇积分模型构造中的正规化步骤是不必要的。
• 建立这些积分模型到西格尔模形式簇积分模型的闭嵌入。
• 通过利用霍奇嵌入到西格尔模形式空间，保持模形式解释。
• 通过使用相容的锥分解，将结果推广到托里科尼德紧化。
• 证明模 $ p $ 点由晶体张量唯一确定，从而确保霍奇态射的单射性。

提出的方法

• 通过志村数据的辛嵌入构造霍奇嵌入 $\mathscr{S}_K(G,X) \hookrightarrow \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm)$。
• 使用 [Kis17] 和 [Zho17] 中的准则，证明若两个模 $ p $ 点在闭包中的像相同，则它们相等当且仅当其晶体张量一致。
• 通过将复乘提升到特征零，证明 $ s_{\alpha,\ell,x} = s_{\alpha,\ell,x'} \Rightarrow s_{\alpha,\mathrm{cris},x} = s_{\alpha,\mathrm{cris},x'} $。
• 利用霍奇循环的有理性和同源提升，匹配上同调张量的 $ \ell $-进与晶体分量。
• 应用 Lan (2019) 关于严格相容锥分解的结果，将闭嵌入推广到托里科尼德紧化。
• 使用 étale 邻域和局部分析，证明边界分量上的诱导映射是一个闭浸入。

实验结果

研究问题

• RQ1 霍奇型志村簇积分模型的构造中是否需要正规化步骤？
• RQ2 积分模型 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ 是否可以在不经过正规化的情况下，作为 $ \mathrm{Sh}_K(G,X) $ 在 $ \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 中的闭包来实现？
• RQ3 霍奇态射 $ \mathscr{S}_K(G,X) \to \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 是否诱导出一个闭浸入？
• RQ4 霍奇型积分模型的托里科尼德紧化能否嵌入到西格尔积分模型的托里科尼德紧化中？
• RQ5 $ \mathscr{S}_K(G,X) $ 的模 $ p $ 点是否由其晶体张量唯一确定？

主要发现

• $ \mathscr{S}_K(G,X) $ 的构造中，正规化步骤是冗余的： $ \mathrm{Sh}_K(G,X) $ 在 $ \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $ 中的闭包本身已是正规且光滑的。
• 存在一个闭嵌入 $ \mathscr{S}_K(G,X) \hookrightarrow \mathscr{S}_{K'}(\mathrm{GSp}, S^\pm) $，且与模形式解释相容。
• 在 PEL 情形下，霍奇态射是一个闭浸入，因为 $ \mathcal{O}_B $-作用由水平结构所决定。
• 对于合适的锥分解，存在一个托里科尼德紧化的闭嵌入 $ \coprod_j (E_{\mathcal{Z},j}(\sigma_j) \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}} C_{\mathcal{Z},j}) \hookrightarrow E_{\mathcal{Z}'}(\tau) \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}} C_{\mathcal{Z}'} $。
• 边界分量上的映射 $ C_{\mathcal{Z},j} \to C_{\mathcal{Z}'} $ 在某个 étale 邻域的像上是一个闭浸入。
• 霍奇态射在模 $ p $ 层次上的单射性源于晶体张量的相等性，而后者由复乘提升可推出 $ \ell $-进张量的相等性。