[论文解读] Normalization of bundle holomorphic contractions and applications to dynamics

François Berteloot, Christophe Dupont+1 more|ArXiv.org|May 18, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

该论文为具有收缩率规则分解的全纯收缩丛映射建立了非自治Poincaré-Dulac定理，证明了在指数收缩模量满足共振条件时，迭代共轭映射的收敛性。关键结果使得在复动力系统典型轨道上对椭球体的精确畸变估计成为可能，从而可通过排斥周期轨道的乘子逼近Lyapunov指数。

ABSTRACT

We establish a Poincaré-Dulac theorem for sequences (G_n)_n of holomorphic contractions whose differentials d_0 G_n split regularly. The resonant relations determining the normal forms hold on the moduli of the exponential rates of contraction. Our results are actually stated in the framework of bundle maps. Such sequences of holomorphic contractions appear naturally as iterated inverse branches of endomorphisms of CP(k). In this context, our normalization result allows to precisely estimate the distortions of ellipsoids along typical orbits. As an application, we show how the Lyapunov exponents of the equilibrium measure are approximated in terms of the multipliers of the repulsive cycles.

研究动机与目标

• 将经典的Poincaré-Dulac归一化定理推广至丛映射框架下的全纯收缩非自治系统。
• 以指数收缩率模量而非特征值来刻画正规形式所受的共振关系。
• 为复射影空间上自同态的迭代逆分支作用下椭球体的畸变提供精确估计。
• 通过归一化过程建立平衡测度的Lyapunov指数与排斥周期轨道乘子之间的联系。

提出的方法

• 通过双射基变换τ上的丛映射形式化设定，纤维以C^k为模型，管状区域由ε-慢函数定义。
• 引入拟态丛映射的概念，其泰勒系数增长足够缓慢，以保证迭代共轭序列的收敛性。
• 通过将线性丛映射分解为具有不同指数收缩率Λ_j的不变子丛并施加一致误差界，定义规则收缩线性丛映射。
• 在切触与共振条件下，证明序列T_n = N^{-n} F^n收敛于极限映射T，且T在阶q+1处κ-切于恒等映射。
• 利用导数外幂上的谱估计控制体积畸变的增长，并推导Lyapunov指数逼近。
• 应用Hadamard不等式与分块三角化技术，对轨道上导数楔幂的范数进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可将丛上全纯收缩序列共轭于由共振单项式定义的正规形式？
• RQ2 在非自治设定下，收缩率Λ_j之间的共振关系如何影响归一化过程的收敛性？
• RQ3 能否仅通过排斥周期轨道的乘子来逼近复动力系统中平衡测度的Lyapunov指数？
• RQ4 ε-慢函数在确保基空间上共轭映射的均匀收缩与收敛性方面起何作用？

主要发现

• 归一化映射T = lim_{n→∞} N^{-n} F^n在ε-慢管E(ρ_ε)上一致收敛，且T在阶q+1处κ-切于恒等映射。
• 对任意θ ∈ (M^{q+1}/m, 1)，共轭误差满足|(N^n ∘ T - F^n)(v)| ≤ φ_ε(x)(mθ)^n |v|^{q+1}，其中φ_ε为某ε-快函数。
• 平衡测度的Lyapunov指数由排斥周期轨道乘子的对数逼近，误差界为O(1/n) + ηε。
• 导数s阶外幂的范数|∧^s d_w R^n_x|满足|(1/n) log |∧^s d_w R^n_x| - (λ_1 + … + λ_s)| ≤ (1/n) log H_{ηε}(x) + ηε，其中η = kθ且H_{ηε} = (M'_{θε})^k。
• 当M^{q+1} < m时，其中m与M分别为线性部分收缩率的下确界与上确界，收敛性与畸变估计成立。
• 通过酉变换对线性部分A_x^n进行分块对角化，可保持关键谱估计，从而控制每个不变子空间中的体积增长。