[论文解读] Normalized causal and well-balanced multivariate fractional Brownian motion

Jean‐François Coeurjolly, Pierre‐Olivier Amblard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文通过小波变换分析多变量分数布朗运动（mfBm），证明具有高阶消失矩的小波分解可消除长程交叉依赖性。通过 von Bahr-Essen 表示法建立了互功率谱密度的存在性，并证实零频行为与渐近相关性结果一致。

ABSTRACT

The work developed in the paper concerns the multivariate fractional Brownian motion (mfBm) viewed through the lens of the wavelet transform. After recalling some basic properties on the mfBm, we calculate the correlation structure of its wavelet transform. We particularly study the asymptotic behavior of the correlation, showing that if the analyzing wavelet has a sufficient number of null first order moments, the decomposition eliminates any possible long-range (inter)dependence. The cross-spectral density is also considered in a second part. Its existence is proved and its evaluation is performed using a von Bahr-Essen like representation of the function $\sign(t) |t|^\alpha$. The behavior of the cross-spectral density of the wavelet field at the zero frequency is also developed and confirms the results provided by the asymptotic analysis of the correlation.

研究动机与目标

• 研究多变量分数布朗运动（mfBm）的小波变换的相关结构。
• 分析在分析小波具有高阶消失矩条件下的小波相关性的渐近行为。
• 建立小波变换后 mfBm 场的互功率谱密度的存在性并进行评估。
• 研究互功率谱密度在零频处的行为，并将其与渐近相关性衰减特性关联。

提出的方法

• 利用小波变换将多变量分数布朗运动（mfBm）分解为尺度局部化的分量。
• 对小波相关性进行渐近分析，表明具有足够消失矩的小波可消除长程依赖性。
• 采用 von Bahr-Essen 型表示法对函数 $\sign(t) |t|^\alpha$ 进行推导，以获得并评估互功率谱密度。
• 分析互功率谱密度在零频处的极限，以验证渐近相关性结果。
• 考虑 mfBm 的自相似性与长程依赖性特征在小波分析下的相互作用及其变换特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 小波变换如何影响多变量分数布朗运动中的长程交叉依赖结构？
• RQ2 在何种分析小波条件下，小波变换可消除 mfBm 中的长程依赖性？
• RQ3 小波变换后 mfBm 场的互功率谱密度的解析形式及其行为特征是什么？
• RQ4 互功率谱密度在零频处的行为如何与渐近相关性结构相关联？

主要发现

• 具有足够多阶消失一阶矩的小波分解可有效消除 mfBm 中的长程交叉依赖性。
• 小波变换后 mfBm 场的互功率谱密度存在，且可通过 $\sign(t)|t|^\alpha$ 的 von Bahr-Essen 表示法进行评估。
• 互功率谱密度在零频处的极限证实了小波相关性的渐近行为。
• 互功率谱密度在零频处的行为与渐近相关性分析中观察到的衰减特性一致。