[论文解读] Normalized Entropy versus Volume

Sadayoshi Kojima, Greg McShane|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 5

一句话总结

本文建立了伪阿诺索夫映射类的归一化熵与它们的映射环面的双曲体积之间的显式线性不等式，证明了归一化熵被一个与体积成正比的绝对常数下界所限制。利用拟Fuchsian几何和几何有限性的结果，作者推导出熵的精确下界，并证明了具有小归一化熵的流形的有限性结果，改进了Penner、Farb-Leininger-Margalit以及Agol的先前工作。

ABSTRACT

Thanks to a recent result by Jean-Marc Schlenker, we establish an explicit linear inequality between the normalized entropies of pseudo-Anosov automorphisms and the hyperbolic volumes of their mapping tori. As its corollaries, we give an improved lower bound for values of entropies of pseudo-Anosovs on a surface with fixed topology, and a proof of a slightly weaker version of the result by Farb, Leininger and Margalit first, and by Agol later, on finiteness of cusped manifolds generating surface automorphisms with small normalized entropies. Also, we present an analogous linear inequality between the Weil-Petersson translation distance of a pseudo-Anosov map (normalized by multiplying the square root of the area of a surface) and the volume of its mapping torus, which leads to a better bound.

研究动机与目标

• 建立伪阿诺索夫映射类的归一化熵与它们的映射环面的双曲体积之间的显式、精确下界。
• 通过引入具尖点的双曲3-流形的最小体积，改进Penner对带 punctures 的曲面熵的下界。
• 为此前由Farb-Leininger-Margalit和Agol证明的、关于生成小归一化熵伪阿诺索夫映射的尖点双曲3-流形的有限性定理，提供一个新的证明。
• 将熵-体积不等式推广至Weil-Petersson平移距离，从而建立几何不变量之间更强的关系。

提出的方法

• 利用Schlenker关于拟Fuchsian流形的重整化体积的近期结果，推导出凸核体积与Teichmüller平移距离之间的中间不等式。
• 应用几何有限性与几何刚性（源自Brock-Bromberg与Minsky）来分析迭代映射类所关联的拟Fuchsian流形中凸核的结构。
• 利用凸核深层部分到映射环面的无限循环覆盖之间的双Lipschitz映射，通过基本区域的平移数来估计体积增长。
• 使用Minsky的模型和基于熵的深度界限，估计深层部分中闭测地线的数量，从而导出关于熵的线性下界。
• 通过将凸核划分为厚部分（Vn）与薄部分（NT(∂Cn)），利用一致的直径估计与几何级数衰减，推导出上下体积界。
• 在论证中用Weil-Petersson平移距离替代Teichmüller平移距离，从而获得更强的不等式，使体积界中的常数更优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在伪阿诺索夫映射的归一化熵与它们的映射环面的双曲体积之间建立显式、精确的下界？
• RQ2 关于生成小归一化熵伪阿诺索夫映射的尖点双曲3-流形的有限性结果，是否能以显式、可计算的常数形式成立？
• RQ3 通过用Weil-Petersson平移距离替代Teichmüller平移距离，能否加强熵与体积之间的关系？
• RQ4 给定曲面拓扑的纤维化双曲3-流形的最小体积是多少？它与熵有何关系？

主要发现

• 本文证明了不等式 $\text{ent } \phi \geq \frac{1}{3\pi|\chi(\Sigma)|} \text{vol } N_\phi$，建立了与曲面拓扑无关的归一化熵的绝对下界。
• 对于至少有一个尖点的曲面，熵满足 $\text{ent } \phi \geq \frac{2v_3}{3\pi(2g - 2 + m)}$，其中 $v_3 \approx 1.01494$ 为正则理想单形的体积。
• 图八结补足实现了猜想的最小熵-体积比（约0.47412），表明该界非常接近最优。
• 作者证明了Farb-Leininger-Margalit有限性定理的一个稍弱版本，表明仅存在有限多个尖点双曲3-流形能生成归一化熵有界的伪阿诺索夫映射。
• 通过用Weil-Petersson距离替代Teichmüller距离，本文获得了更强的不等式：$||\phi||_{WP} \geq \frac{2}{3} \sqrt{2\pi|\chi(\Sigma)|} \cdot \text{vol } N_\phi$，从而改进了Brock定理中的体积界。
• 结果表明Weil-Petersson距离关系强于Teichmüller距离关系，因为存在伪阿诺索夫序列，其Weil-Petersson距离有界但熵发散，表明其几何联系更为稳健。