[论文解读] Normalized Power Prior Bayesian Analysis

Keying Ye, Han, Zifei+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2022

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用 6

一句话总结

本文提出了一种归一化幂先验贝叶斯方法，通过引入尺度因子解决了联合幂先验中违反似然原理的问题，确保在不同数据表示下推断的一致性。通过理论和数值分析表明，归一化幂先验通过幂参数 δ 自适应地量化数据兼容性，计算高效，并通过 R 包实现，适用于具有历史数据的小样本场景。

ABSTRACT

The elicitation of power priors, based on the availability of historical data, is realized by raising the likelihood function of the historical data to a fractional power δ, which quantifies the degree of discounting of the historical information in making inference with the current data. When δ is not pre-specified and is treated as random, it can be estimated from the data using Bayesian updating paradigm. However, in the original form of the joint power prior Bayesian approach, certain positive constants before the likelihood of the historical data could be multiplied when different settings of sufficient statistics are employed. This would change the power priors with different constants, and hence the likelihood principle is violated. In this article, we investigate a normalized power prior approach which obeys the likelihood principle and is a modified form of the joint power prior. The optimality properties of the normalized power prior in the sense of minimizing the weighted Kullback-Leibler divergence is investigated. By examining the posteriors of several commonly used distributions, we show that the discrepancy between the historical and the current data can be well quantified by the power parameter under the normalized power prior setting. Efficient algorithms to compute the scale factor is also proposed. In addition, we illustrate the use of the normalized power prior Bayesian analysis with three data examples, and provide an implementation with an R package NPP.

研究动机与目标

• 解决当 δ 被视为随机变量时，联合幂先验中违反似然原理的问题，该问题会导致在不同似然表示下后验分布不一致。
• 构建一种归一化幂先验框架，通过引入尺度因子以遵守似然原理，确保在等价似然表述下推断的一致性。
• 通过加权 Kullback-Leibler 散度最小化方法研究归一化幂先验的最优性。
• 提供高效的后验抽样计算算法，并通过 R 包（NPP）实现，以支持实际应用。
• 通过三个真实数据示例展示该方法的性能，表明其在兼容性评估和自适应借用方面优于联合幂先验。

提出的方法

• 归一化幂先验定义为 π(θ|D₀, δ) ∝ L(θ|D₀)^δ π₀(θ) / C(δ)，其中 C(δ) 为归一化常数，确保先验积分为一，从而保持似然原理。
• 幂参数 δ 被视为随机变量并通过贝叶斯更新进行估计，其先验分布的超参数经调整以反映对历史数据兼容性的先验信念。
• 该方法使用加权 Kullback-Leibler 散度来证明归一化幂先验在最小化后验分布与真实数据生成分布之间差异方面的最优性。
• 开发了一种高效算法，用于计算各类 exponential family 分布的尺度因子 C(δ)，从而实现快速后验计算。
• 该方法通过名为 NPP 的 R 包实现，支持常见分布的后验抽样和模型拟合。
• 对联合幂先验与归一化幂先验进行了理论和数值比较，突出后者在一致性和一致性方面的优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 δ 被视为随机变量时，联合幂先验框架是否违反似然原理？如果是，这对后验推断有何影响？
• RQ2 能否构建一种归一化幂先验，使其在尊重似然原理的同时仍允许对历史数据进行自适应借用？
• RQ3 归一化幂先验如何响应历史研究与当前研究之间的数据兼容性？这种响应能否通过幂参数 δ 量化？
• RQ4 从最小化加权 Kullback-Leibler 散度的角度来看，归一化幂先验的理论最优性如何？
• RQ5 与现有方法相比，归一化幂先验的计算算法在效率和准确性方面表现如何？

主要发现

• 归一化幂先验尊重似然原理，因为引入尺度因子后，等价的似然表示（如原始数据与充分统计量）会产生相同的后验分布。
• 归一化幂先验中的幂参数 δ 会根据数据兼容性自适应调整：当历史数据与当前数据相似时，δ 增大（更多借用）；当两者冲突时，δ 减小。
• 在 2×2 列联表的临床试验示例中，归一化幂先验估计 δ = 0.216，众数为 0.085，表明中等程度的借用；而联合幂先验估计 δ = 0.044，表明几乎忽略历史数据。
• 归一化幂先验产生了更具说服力和更稳定的估计（如敏感度为 49.88%，而 JPP 下为 49.98%），更准确地反映了数据兼容性。
• R 包 NPP 支持高效的后验抽样和模型拟合，其计算性能在多种分布和数据设置下得到验证。
• 理论分析表明，归一化幂先验最小化了加权 Kullback-Leibler 散度，为其在自适应借用中的使用提供了原则性依据。