[论文解读] Normalized solutions of mass supercritical Schr\\"odinger equations with potential

Thomas Bartsch, Riccardo Molle+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用 112

一句话总结

本文通过在 L²-球面上采用一种新颖的极小极大方法，建立了质量超临界非线性薛定谔方程在势能趋于无穷远处时的归一化解的存在性。证明了在势能 V 的显式、非微扰条件下（包括奇点），对于任意 ρ > 0，存在解 (u, λ) ∈ H¹(R^N) × R⁺ 满足 ‖u‖₂ = ρ，即使能量泛函在约束流形上无下界。关键贡献在于提出了一种新型的链式变分方法，克服了超临界情形下非紧性和 Palais-Smale 条件缺失的问题。

ABSTRACT

This paper is concerned with the existence of normalized solutions of the nonlinear Schrodinger equation-Delta u + V(x)u + lambda u = vertical bar u vertical bar(p-2)u in R-Nin the mass supercritical and Sobolev subcritical case 2 + 4/N < p < 2*. We prove the existence of a solution (u, lambda) is an element of H-1 (R-N) x R+ with prescribed L-2-norm parallel to u parallel to(2) = rho under various conditions on the potential V : R-N -> R, positive and vanishing at infinity, including potentials with singularities. The proof is based on a new min-max argument.

研究动机与目标

• 建立非线性薛定谔方程 −Δu + V(x)u + λu = |u|^{p−2}u 在 H¹(R^N) × R⁺ 中归一化解 (u, λ) 的存在性，其中固定 L²-范数 ‖u‖₂ = ρ。
• 解决在质量超临界情形（2 + 4/N < p < 2*）下，能量泛函在 L²-球面 Sρ 上无下界的问题，此时标准最小化方法失效。
• 发展并应用一种基于链式结构的新极小极大方法，以在 Sρ 上寻找能量泛函的临界点。
• 将存在性结果推广至满足 V ≥ 0 且当 |x| → ∞ 时 V(x) → 0 的势能，包括具有奇点（极点）的势能，前提是 V 和 W(x) = V(x)|x| 满足显式、非微扰条件。

提出的方法

• 在 L²-球面 Sρ = {u ∈ H¹(R^N) : ‖u‖₂ = ρ} 上引入一种新的极小极大方法，以寻找能量泛函 F(u) = ½∫(|∇u|² + V(x)u²)dx − 1/p ∫|u|ᵖdx 的临界点。
• 从自治问题 (−Δ + 1)U = |U|^{p−2}U 构造一族缩放后的基态 Zρ，作为比较轮廓。
• 通过变换 h ⋆ Zρ(x) = e^{h} Zρ(e^{h}x) 定义链式结构，该变换在尺度上移动轮廓并在空间上平移。
• 证明在自治情形（V ≡ 0）下，泛函 F 在山口水平 mρ 处达到极小值，并以此作为参考，当 V ≥ 0 较小或衰减时构建链式几何结构。
• 通过利用 Aubin-Talenti 最优常数 A 和 V 的 L^N/2 范数，推导先验估计，证明 Sρ 上 Palais-Smale 序列的有界性，从而确保收敛至解。
• 以径向情形为模型：在径向子空间 H¹_rad(R^N) ∩ Sρ 上应用山口论证，当 V 为径向或满足径向型假设时，获得解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当势能 V ≥ 0 且满足 V(x) → 0（当 |x| → ∞ 时），在质量超临界情形 2 + 4/N < p < 2* 下，对任意 ρ > 0，归一化薛定谔方程在 H¹(R^N) × R⁺ 中存在解的条件是什么？
• RQ2 当能量泛函在 L²-球面上无下界，导致最小化方法失效时，能否构造一种变分方法以寻找归一化解？
• RQ3 如何在归一化解的存在性理论中容纳 V 中的奇点（例如极点）？
• RQ4 V 和 W(x) = V(x)|x| 的哪些显式、非微扰条件可确保解的存在性，即使当 V 和 W 的 L∞-范数对小的 ρ 值较大时？
• RQ5 本文所发展的新型链式论证方法能否被推广以处理非径向势能，其中嵌入 H¹(R^N) ↪ L^p(R^N) 不是紧的？

主要发现

• 本文证明了在显式条件 (V1) 或 (V2) 下，对于任意 ρ > 0，质量超临界薛定谔方程在 V ≥ 0 且当 |x| → ∞ 时 V(x) → 0 的情形下，存在归一化解 (u, λ) ∈ H¹(R^N) × R⁺。
• 解通过在 L²-球面上的新极小极大方法获得，该方法克服了超临界情形下 Palais-Smale 条件缺失和泛函无下界的问题。
• 对于满足 (V1) 的势能，若 V 和 W(x) = V(x)|x| 的 L∞-范数被涉及 mρ、ρ 和 p 的显式表达式所控制，则存在性得以保证，且该控制允许在 ρ 较小时 V 较大。
• 对于满足 (V2) 的势能在 N ≥ 3 维下，若 ∥V∥_{N/2} 和 ∥W∥_N 被涉及 Aubin-Talenti 常数 A 及 p 和 N 的显式函数所控制，则存在性成立，且可容纳奇点。
• 在径向情形下，在径向子空间 Sρ ∩ H¹_rad(R^N) 上应用山口论证可获得解，且该方法在径向假设下具有鲁棒性。
• 本文表明，自治情形（V ≡ 0）下的山口水平 mρ 由缩放基态 Zρ 实现，且该值被用作链式构造中的参考基准。