[论文解读] Normalized solutions to the mixed dispersion nonlinear Schr\\"odinger equation in the mass critical and supercritical regime

Denis Bonheure, Jean‐Baptiste Casteras+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 54被引用 79

一句话总结

该论文研究在质量约束下混合色散非线性薛定谔方程（NLS）具有高阶拉普拉斯项和拉普拉斯项的归一化（质量约束）解的存在性、重数性和稳定性，聚焦于质量临界和质量超临界区间，并分析基态、径向解、浓缩及动力学。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of solutions to the mixed dispersion nonlinear Schr\\"odinger equation $$ \\gamma \\Delta ^2 u -\\Delta u + \\alpha u=|u|^{2 \\sigma} u, \\quad u \\in H^2(\\R^N), $$ under the constraint $$ \\int_{\\R^N}|u|^2 \\, dx =c>0. $$ We assume $\\gamma >0, N \\geq 1, 4 \\leq \\sigma N < \\frac{4N}{(N-4)^+}$, whereas the parameter $\\alpha \\in \\R$ will appear as a Lagrange multiplier. Given $c \\in \\R^+$, we consider several questions including the existence of ground states, of positive solutions and the multiplicity of radial solutions. We also discuss the stability of the standing waves of the associated dispersive equation.

研究动机与目标

• 研究在 gamma > 0 的混合色散NLS 下，在约束 ∫|u|^2 = c 下归一化（质量约束）解的存在性，识别基态及多重性。
• 分析拉格朗日乘子 α 以及约束集合 M(c) 在获得约束临界点中的作用。
• 研究随着质量 c 的变化基态、径向解和浓缩现象的行为，包括驻波的稳定性/不稳定性。

提出的方法

• 通过在 S(c) 上的能量泛函 E(u) 分析椭圆方程 γ Δ^2 u - Δu + αu = |u|^{2σ}u，且 ∫|u|^2 = c。
• 将受约束的流形 M(c) 定义为 {u ∈ S(c) : Q(u) = 0}，其中包含 Derrick-Pohozaev 型恒等式 Q(u)。
• 证明 E 在 M(c) 上的强可控性及下界性（及半径 R），以获得在 c ∈ (c0, cN,σ) 的极小点 Γ(c) 与基态。
• 证明在 S(c) 的水平 Γ(c) 存在 Palais–Smale 序列，并推导收敛到具有 α_c > 0 的基态 u_c 的强收敛。
• 运用浓缩-紧性与基因定理，在 4 < σN < 4* 时获得无限多个径向解；以及 σN = 4 时的结果，包括径向基态与符号改变解。
• 证明分散方程的稳定性以及径向基态在爆破下的不稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 c ∈ (c0, cN,σ)，是否存在满足 ∫|u|^2 = c 的 γ Δ^2 u - Δu + αu = |u|^{2σ}u 的基态解？
• RQ2 是否可以通过变分方法获得质量约束问题的无限多个径向解，以及幂指数 σN 如何影响这一多重性？
• RQ3 当质量临界时，随着 c 接近临界质量 cN*，基态的行为（浓缩现象）为何？
• RQ4 与基态相关的驻波在时变的混合色散NLS下是稳定还是不稳定，以及在哪些区间？
• RQ5 拉格朗日乘子 α 的存在如何影响受约束极小值解的正性、符号变化性与对称性？

主要发现

• 对于质量临界 σN = 4，存在 cN* > 0，使 m(c) = 0 当 0 < c ≤ cN*，且 m(c) = -∞ 当 c > cN*，且在 c ≤ cN* 时 S(c) 上不存在非平凡解。
• 存在 cN,σ > c0，使得对 c ∈ (c0, cN,σ) 约束问题 (Pc) 具有一个基态 u_c，且 E(u_c) = Γ(c) 且 α_c > 0。
• 如果 4 < σN < 4* 且 N ≥ 2，(Pc) 对 c ∈ (0, cN,σ) 具有无限多个径向解；在质量临界情形（σN = 4）下，在某些维度中存在适合的较大 c 时的无限多个径向解。
• 在维数 N = 3 或 4 时，当 σN ≥ 4，任意 c > c0 存在径向基态，且 α > 0；且给定 c 时，可能出现符号改变的径向基态。
• 对于分散方程，在质量约束下，当 4 ≤ σN < 4* 时，径向基态因爆破（有限或无限时间）而不稳定；当 α 固定时，在质量超临界/次临界区间也有类似的不稳定性结论。