[论文解读] Normalizer of the Chevalley group of type $E_7$

A. Yu. Luzgarev, N. A. Vavilov|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 8

一句话总结

该论文证明了在任意交换环 $ R $ 上，初等Chevalley群 $ E(\text{E}_7, R) $ 的正规化子、单连通Chevalley群 $ G(\text{E}_7, R) $ 的正规化子、$ E(\text{E}_7, R) $ 到 $ G(\text{E}_7, R) $ 的传递群，以及扩展Chevalley群 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中完全一致。扩展群被表征为133个二次型系统的稳定子，且该结果在 $ \mathbb{Z} $ 上成立，从而确认了相应群概形的光滑性。

ABSTRACT

We consider the simply connected Chevalley group $G(E_7,R)$ of type $E_7$ in the 56-dimensional representation. The main objective of the paper is to prove that the following four groups coincide: the normalizer of the elementary Chevalley group $E(E_7,R)$, the normalizer of the Chevalley group $G(E_7,R)$ itself, the transporter of $E(E_7,R)$ into $G(\mathrm E_7,R)$, and the extended Chevalley group $\overline G(E_7,R)$. This holds over an arbitrary commutative ring $R$, with all normalizers and transporters being calculated in $GL(56,R)$. Moreover, we characterize $\overline G(E_7,R)$ as the stabilizer of a system of quadrics. This last result is classically known over algebraically closed fields, here we prove that the corresponding group scheme is smooth over $\mathbb Z$, which implies that it holds over arbitrary commutative rings. These results are one of the key steps in our subsequent paper, dedicated to the overgroups of exceptional groups in minimal representations.

研究动机与目标

• 确定任意交换环 $ R $ 下，初等Chevalley群 $ E(\text{E}_7, R) $ 在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中的正规化子。
• 证明该正规化子与单连通Chevalley群 $ G(\text{E}_7, R) $ 在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中的正规化子完全一致。
• 证明 $ E(\text{E}_7, R) $ 到 $ G(\text{E}_7, R) $ 在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中的传递群等于扩展Chevalley群 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $。
• 在56维最小表示中，明确给出 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 作为一组133个二次型的稳定子的几何描述。
• 建立群概形 $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $ 在 $ \mathbb{Z} $ 上的光滑性，以确保其几何描述在任意交换环上成立。

提出的方法

• 构造一个理想 $ I \subset \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $，由133个二次型 $ f_1, \dots, f_{133} $ 生成，定义该二次型系统稳定子 $ G_I(R) $。
• 使用概形理论论证和来自 $ \mathrm{E}_8 $ 的已知构造，证明仿射群概形 $ G_I $ 同构于 $ \mathbb{Z} $ 上的扩展单连通Chevalley群概形 $ \overline{G}_{\text{sc}}(\text{E}_7, -) $。
• 利用已知的四线性型 $ f $ 和辛形式 $ h $ 在 $ G_{\text{sc}}(\text{E}_7, R) $ 作用下不变的性质，并通过其二阶偏导数生成133个二次型。
• 将群 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $ 定义为保持 $ f $ 至多相差一个标量、保持 $ h $ 至多相差平方标量的线性变换的集合，并证明其与 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 一致。
• 利用扩展Chevalley群由换位子群与半单元素生成的事实，证明变换律中的校正项 $ c_2, c_3, c_4 $ 恒为零。
• 应用文献[25]中的主要结果：四线性型在 $ E(\text{E}_7, R) $ 作用下不变，表明任何在共轭作用下保持该型的 $ g $ 必须属于 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意交换环 $ R $ 下，$ E(\text{E}_7, R) $ 的正规化子、$ G(\text{E}_7, R) $ 的正规化子、$ E(\text{E}_7, R) $ 到 $ G(\text{E}_7, R) $ 的传递群，以及扩展Chevalley群 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 是否在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中完全一致？
• RQ2 扩展Chevalley群 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 能否在56维最小表示中被明确表征为一组二次型的稳定子？
• RQ3 群概形 $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $ 是否在 $ \mathbb{Z} $ 上光滑，从而使其在代数闭域上的几何定义可推广至任意交换环？
• RQ4 正规化 $ E(\text{E}_7, R) $ 的 $ g \in \mathrm{GL}(56, R) $ 的精确变换律为何？该律是否可简化以消除四线性型中的校正项？
• RQ5 四线性型 $ f $ 和辛形式 $ h $ 在 $ E(\text{E}_7, R) $ 作用下的不变性是否强制任何此类 $ g $ 属于 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $？

主要发现

• 在任意交换环 $ R $ 下，$ E(\text{E}_7, R) $ 在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中的正规化子等于 $ G(\text{E}_7, R) $ 的正规化子，且两者均与扩展Chevalley群 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 一致。
• 扩展Chevalley群 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 同构于 $ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $ 中由133个二次型生成的理想所定义的稳定子，从而确立了该群概形的几何描述。
• 群概形 $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $ 在 $ \mathbb{Z} $ 上光滑，确保了其作为二次型系统稳定子的几何描述在任意交换环上成立。
• $ E(\text{E}_7, R) $ 到 $ G(\text{E}_7, R) $ 在 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 中的传递群包含于 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $，且等式成立，从而确认了正规化子的一致性。
• 对于 $ g \in \overline{G}(\text{E}_7, R) $，其变换律满足 $ f(gu,gv,gw,gz) = \varepsilon f(u,v,w,z) $ 且 $ h(gu,gv) = \varepsilon^2 h(u,v) $，其中 $ \varepsilon \in R^* $，且无校正项 $ c_2, c_3, c_4 $，如引理10所示。
• 四线性型 $ f $ 和辛形式 $ h $ 在 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 作用下至多相差标量，且由该不变性定义的群 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $ 与 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $ 一致，如定理2所确立。