[论文解读] Not So Easy Problems for Tree Decomposable Graphs

Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用 27

一句话总结

本文证明了在有界树宽的边权图中，最小化最大加权出度的问题是 W[1]-难的，表明即使对于固定树宽的图，其多项式时间算法的复杂度若与树宽无关，也极不可能存在。该结果通过从 Partitioned Clique 问题的 fpt-归约得到，证明该问题虽对有界树宽图可多项式时间求解，但其位于 FPT 可 tractable 类之外，属于参数化难解问题。

ABSTRACT

We consider combinatorial problems that can be solved in polynomial time for graphs of bounded treewidth but where the order of the polynomial that bounds the running time is expected to depend on the treewidth bound. First we review some recent results for problems regarding list and equitable colorings, general factors, and generalized satisfiability. Second we establish a new hardness result for the problem of minimizing the maximum weighted outdegree for orientations of edge-weighted graphs of bounded treewidth.

研究动机与目标

• 识别在有界树宽图中既非显然简单也非 NP-难的问题。
• 研究对有界树宽图可多项式时间求解，但其多项式时间复杂度依赖于树宽的问题。
• 提供理论证据，表明此类问题不太可能是固定参数可 tractable 的。
• 为边权图中最小最大加权出度定向问题在有界树宽图上建立新的 W[1]-难性结果。

提出的方法

• 从已知为 W[1]-难的 Partitioned Clique 问题构造归约，至最小最大出度问题。
• 定义一个加权图 H，其顶点与边用于建模来自 k-部分图 G 的变量与子句构件。
• 分配边权与顶点需求（ρ-值），使得 ρ-可接受定向对应于 G 中的一个团。
• 利用定向中的结构约束，强制每个部分集中仅选择一个变量，且所选变量构成一个团。
• 证明图 H 中存在 ρ-可接受定向，当且仅当图 G 包含一个 k-团。
• 建立从 Partitioned Clique 到最小最大出度问题的 fpt-归约，证明在 fpt-归约下为 W[1]-难。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有界树宽图可多项式时间求解的问题，若其多项式时间复杂度依赖于树宽，是否仍可能是 W[1]-难的？
• RQ2 最小最大加权出度定向问题在有界树宽图上是否是固定参数可 tractable 的？
• RQ3 能否通过 fpt-归约将 Partitioned Clique 问题归约至最小最大出度定向问题？
• RQ4 在有界树宽设定下，边权图中的何种结构约束可强制实现团的选择？
• RQ5 多项式时间复杂度对树宽的依赖是否意味着在参数化意义下存在不可解性？

主要发现

• 对边权图而言，当以树宽为参数时，最小最大出度问题为 W[1]-难。
• 即使对于固定树宽的图，该问题仍为 W[1]-难，表明除非 FPT = W[1]，否则不存在 FPT 算法。
• 在构造的图 H 中存在 ρ-可接受定向，当且仅当原图 G 包含一个 k-团。
• 该归约保持了参数化复杂度，建立了从 Partitioned Clique 到最小最大出度问题的 fpt-归约。
• 构造图 H 的树宽由 k 的函数有界，确保该归约在参数化设定下有效。
• 该结果表明，某些对有界树宽图可多项式时间求解的问题，由于其时间复杂度对树宽的依赖，本质上是参数化不可解的。