[论文解读] Note on a Cohomological Theory of Contact-Instanton and Invariants of Contact Structures

Yiwen Pan|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在5维接触流形上接触瞬子的上同调场论，表明BRST可观测量可产生底层接触几何的不变量。该理论建立了接触瞬子模空间维数与一个典范Dirac-Kohn算子的等变指标之间的联系，在K-接触情形下给出了积分公式，并通过威尔逊圈将该理论与5d $ mathcal{N}=1$ 超杨-米尔斯理论及接触同调联系起来。

ABSTRACT

In the localization of 5-dimensional N = 1 super-Yang-Mills, contact-instantons arise as non-perturbative contributions. In this note, we revisit such configurations and discuss their generalizations. We propose for contact-instantons a cohomological theory whose BRST observables are invariants of the background contact geometry. To make the formalism more concrete, we study the moduli problem of contact- instanton, and we find that it is closely related to the eqiuivariant index of a canonical Dirac-Kohn operator associated to the geometry. An integral formula is given when the geometry is K-contact. We also discuss the relation to 5d N = 1 super-Yang- Mills, and by studying a contact-instanton solution canonical to the background geometry, we discuss a possible connection between N = 1 theory and contact homology. We also uplift the 5d theory a 6d cohomological theory which localizes to Donaldson-Uhlenbeck-Yau instantons when placed on special geometry.

研究动机与目标

• 构建一个其BRST可观测量为背景接触结构不变量的上同调场论。
• 研究接触瞬子的模空间，并将其维数与典范Dirac-Kohn算子的等变指标联系起来。
• 通过威尔逊圈和线性化回传映射，建立5d $ mathcal{N}=1$ 超杨-米尔斯理论与接触同调之间的联系。
• 将5d理论提升为一个6d上同调场论，其在卡拉比-丘3流形上局部化为唐纳森-乌伦贝克-杨瞬子。

提出的方法

• 构造一个具有BRST荷 $Q$ 的上同调场论，使其在满足 $\pi_V F_A = 0$，$\pi_H^+ F_A = \lambda \phi d\kappa$，以及 $d_A \phi = 0$ 的接触瞬子配置上局部化。
• 在接触度量流形上使用广义Tanaka-Webster联络，定义一个典范 $ mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ 结构及其相关的Dirac-Kohn算子。
• 应用等变指标定理，计算K-接触流形中接触瞬子模空间 $\mathcal{M}_\lambda$ 的维数。
• 利用典范 $ mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ 线丛上Dirac算子的等变指标，推导出 $\dim \mathcal{M}_\lambda$ 的积分公式。
• 在Sasaki-Einstein流形上识别出一个典范接触瞬子解，该解捕捉了扭接 $ mathcal{N}=1$ 理论的局部化行为。
• 证明5d理论中的威尔逊圈与接触同调中的线性化回传映射 $\Psi_\gamma$ 一致，从而在物理上实现了接触同调不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个上同调场论，使其BRST可观测量为背景接触几何的不变量？
• RQ2 接触瞬子模空间的维数与底层流形的几何不变量之间有何关系？
• RQ3 在K-接触流形中，典范Dirac-Kohn算子在计算模空间维数中起什么作用？
• RQ4 5d $ mathcal{N}=1$ 超杨-米尔斯理论在Sasaki-Einstein流形上如何与接触同调相关联？
• RQ5 5d理论能否被提升为一个6d上同调场论，使其在卡拉比-丘3流形上局部化为唐纳森-乌伦贝克-杨瞬子？

主要发现

• 所提出的上同调理论的BRST可观测量是背景接触结构的不变量，为几何不变量提供了物理实现。
• 在K-接触流形中，接触瞬子模空间 $\mathcal{M}_\lambda$ 的维数通过典范 $ mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ 线丛上Dirac-Kohn算子的等变指标计算得出。
• 利用等变指标定理推导出 $\dim \mathcal{M}_\lambda$ 的积分公式，将拓扑不变量与规范理论数据联系起来。
• 在Sasaki-Einstein流形上，存在一个典范接触瞬子解，且扭接 $ mathcal{N}=1$ 理论局部化于该配置。
• 5d理论中的威尔逊圈 $W(\gamma)$ 与接触同调中的线性化回传映射 $\Psi_\gamma$ 一致，从而在物理上直接建立了与接触同调不变量的联系。
• 5d理论可被提升为一个6d上同调场论，当背景几何为卡拉比-丘3流形时，其局部化为唐纳森-乌伦贝克-杨瞬子。