[论文解读] Note on Brendle-Eichmair's paper "Isoperimetric and Weingarten surfaces in the Schwarchild manifold"

Haizhong Li, Yong Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文将Brendle-Eichmair定理7中关于史氏度量中等周与Weingarten曲面的凸性假设去除。通过证明任意星形超曲面上存在一个椭圆点，并利用主曲率初等对称函数的性质，作者表明即使在无凸性假设下，常数$\sigma_p$也意味着超曲面为旋转截面$\mathbb{S}^{n-1} \times \{r\}$。该结果在类似几何条件下可推广至一般爱因斯坦基流形。

ABSTRACT

In this short note, we show that the assumption "convex" in Theorem 7 of Brendle-Eichmair's paper \cite{BE} is unnecessary.

研究动机与目标

• 去除Brendle-Eichmair定理7中关于史氏度量中$\sigma_p$-常曲面的不必要凸性假设。
• 在不依赖凸性的情况下，建立星形超曲面若具有常数$\sigma_p$，则必为旋转截面$\mathbb{S}^{n-1} \times \{r\}$的结论。
• 将结果推广至具有爱因斯坦基$N$及合适翘曲函数$\lambda(r)$的度量$N \times [0,\bar{r})$的 warped product 流形。
• 证明任意星形超曲面上椭圆点的存在性足以导出刚性结论，即使主曲率并非全局为正。

提出的方法

• 通过分析高度函数$h = r$及其在最大值点处的Hessian矩阵，证明任意闭合、嵌入、星形超曲面$\Sigma$上存在椭圆点。
• 利用共形向量场$X = \lambda(r)\partial_r$及其性质，推导出涉及$\sigma_p$与$\sigma_{p-1}$的曲率估计与恒等式。
• 在常数$\sigma_p > 0$的假设下，通过在$\Sigma$上对张量场积分，推导出Heintze-Karcher型不等式与Minkowski型不等式。
• 通过证明集合$\{\sigma_j > 0\}$既开又闭，从而得出$\Sigma$上所有$\sigma_j$（$1 \leq j \leq p-1$）为正，故主曲率位于正锥体$\Gamma_p^+$中。
• 利用扭曲度量中里奇曲率的表达式，控制Minkowski恒等式中散度项的符号，确保误差项非负。
• 将论证推广至满足$Ric_N = (n-2)B g_N$的爱因斯坦基$N$的流形$M = N \times [0,\bar{r})$，在$\lambda(r)$满足修正条件(H1')-(H4')下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brendle-Eichmair关于史氏度量中$\sigma_p$-常曲面的刚性定理中的凸性假设是否可被去除？
• RQ2 星形超曲面上椭圆点的存在性是否足以推出常数$\sigma_p$意味着其为旋转截面，即使无全局凸性？
• RQ3 该刚性结果能否推广至具有一般爱因斯坦基流形$N$的扭曲积流形？
• RQ4 翘曲函数$\lambda(r)$需满足何种几何条件，才能保证在推广情形下Minkowski型不等式与Heintze-Karcher不等式成立？

主要发现

• Brendle-Eichmair论文中定理7的凸性假设是不必要的；刚性结论对所有具有常数$\sigma_p$的星形超曲面均成立。
• 在$(M,\bar{g})$中，任意闭合、嵌入、星形超曲面若具有常数$\sigma_p$，则必为某$ r \in (0,\bar{r}) $的旋转截面$\mathbb{S}^{n-1} \times \{r\}$。
• 任意星形超曲面上椭圆点的存在性可保证$\sigma_p > 0$，且主曲率位于正锥体$\Gamma_p^+$中，从而可应用Minkowski型不等式。
• 在给定条件下，Minkowski型不等式$p \int_\Sigma \langle X,\nu\rangle \sigma_p \geq (n-p)\int_\Sigma \lambda' \sigma_{p-1}$成立，且误差项非负，原因在于里奇曲率符号与$\sigma_{p-2;j} > 0$。
• 该结果可推广至$M = N \times [0,\bar{r})$，其中基流形$N$为满足$Ric_N = (n-2)B g_N$的爱因斯坦流形，且$\lambda(r)$满足修正条件(H1')-(H4')，此时仍可得出相同的刚性结论。
• de Sitter-Schwarzschild度量满足所有条件(H1)-(H4)，因此推论3确认在该物理时空模型中，$\sigma_p$-常星形超曲面为截面。