研究动机与目标

提出的方法

从给定的无向图 $G$ 构造一个多重图 $G_p$：将每条边替换为 $p$ 条平行边，并添加一个新根顶点，通过两条平行边连接到所有原顶点。
定义一个“轨道”为一个欧拉定向与一个以新顶点为根的向树的组合，其对应于一个唯一的欧拉回路，最多相差因子 $\prod (d_v - 1)!$。
按类型 $\tau$ 对轨道进行分类，其中 $\tau(e) = (k, X)$ 表示在 $p$ 条平行边中，有多少条从较低顶点指向较高顶点，以及是否存在树边。
证明非特殊类型（即 $k \notin \{0,p\}$ 或 $X = T$）的贡献可被 $p$ 整除，因此模 $p$ 下仅特殊类型（$k \in \{0,p\}$ 且 $X = F$）有贡献。
证明特殊类型轨道的数量恰好为 $2^n \times N$，其中 $N$ 是原图 $G$ 的欧拉定向数量，因此可恢复 $N \mod p$。
对区间 $[m, 2m]$ 内的所有素数 $p$（其中 $m = |E|$）重复该过程，并应用中国剩余定理以精确重构 $N$。

无向图中计数欧拉回路是 #P-完全的，解决了长达 25 年的开放问题。
在构造的多重图 $G_p$ 中，特殊类型轨道的数量恰好为 $2^n \times N$，其中 $N$ 是原图 $G$ 的欧拉定向数量。
对于任意满足 $m = |E|$ 的素数 $p \in [m, 2m]$，$G_p$ 中的轨道数量模 $p$ 同余于 $2^n \times N$，从而可实现 $N$ 的模计数。
非特殊类型轨道的数量可被 $p$ 整除，因此其模 $p$ 贡献为零，确保仅特殊类型影响模计数。
通过在 $[m, 2m]$ 内所有素数上重复模计数并应用中国剩余定理，可精确重构 $N$ 的值。
相同的约化技术也适用于非全等 3-SAT 计数，表明其同样可通过约化至欧拉定向计数而被证明为 #P-完全。