[论文解读] Note on edge-colored graphs and digraphs without properly colored cycles

Gregory Gutin|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过构造具有任意高单色度但不含正常标号圈的递归 c-边标号无向图，推翻了关于每个最小单色度 d ≥ 1 的 c-边标号无向图必含正常标号圈的猜想。主要贡献在于确立了函数 d(n,c) 和 d̲(n,c) 的紧致 Θ(log n) 界，表明当固定 c ≥ 2 时，其随 n 呈对数增长。

ABSTRACT

We study the following two functions: d(n,c) and $\vec{d}(n,c)$; d(n,c) ($\vec{d}(n,c)$) is the minimum number k such that every c-edge-colored undirected (directed) graph of order n and minimum monochromatic degree (out-degree) at least k has a properly colored cycle. Abouelaoualim et al. (2007) stated a conjecture which implies that d(n,c)=1. Using a recursive construction of c-edge-colored graphs with minimum monochromatic degree p and without properly colored cycles, we show that $d(n,c)\ge {1 \over c}(\log_cn -\log_c\log_cn)$ and, thus, the conjecture does not hold. In particular, this inequality significantly improves a lower bound on $\vec{d}(n,2)$ obtained by Gutin, Sudakov and Yeo in 1998.

研究动机与目标

• 推翻 Abouelaoualim 等人（2007 年）提出的猜想，即每个最小单色度 d ≥ 1 的 c-边标号无向图必含正常标号圈。
• 确定 d(n,c) 的精确渐近增长，即最小的 k，使得每个阶为 n、最小单色度 ≥ k 的 c-边标号无向图均含正常标号圈。
• 分析有向情形的类似函数 d̲(n,c)，定义为最小的 k，使得每个阶为 n、最小单色出度 ≥ k 的 c-边标号有向图均含正常标号圈。
• 改进现有关于 d̲(n,2) 的下界，特别是超越 Gutin、Sudakov 和 Yeo（1998 年）的界限。
• 对每个固定的 c ≥ 2，确立 d(n,c) 和 d̲(n,c) 的紧致渐近 Θ(log n) 界。

提出的方法

• 构造递归的 c-边标号图 G(p₁, p₂, ..., p_c)，其中每个顶点通过颜色 i 的边连接到对应子图 G 的 p_i − 1 个顶点，从单个顶点开始。
• 通过 s = p₁ + ... + p_c 的和进行归纳，证明 G(p₁, ..., p_c) 不含正常标号圈，且最小单色度为 min{p_i}。
• 利用递归求和与归纳法，推导出阶 n(p₁, ..., p_c) ≤ s·2^s（当 s > 0 时）的上界。
• 将该界应用于对称情形 p₁ = ... = p_c = p，证明 n_c(p) ≤ cp·c^{cp}，从而得到以 n 表示的 p 的下界。
• 通过构造存在最小单色度 ≥ d 但不含正常标号圈的图，证明 d(n,c) ≥ (1/c)(log_c n − log_c log_c n)。
• 通过合并颜色将 c-边标号有向图约化为 2-边标号有向图，从而以 log₂n 表示 d̲(n,c) 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个最小单色度 d ≥ 1 的 c-边标号无向图是否必然包含正常标号圈？
• RQ2 最小的 k = d(n,c) 是多少，使得每个阶为 n、最小单色度 ≥ k 的 c-边标号无向图均含正常标号圈？
• RQ3 最小的 k = d̲(n,c) 是多少，使得每个阶为 n、最小单色出度 ≥ k 的 c-边标号有向图均含正常标号圈？
• RQ4 能否将 d̲(n,2) 的下界提升至超过现有界限 (1/4)log₂n + (1/8)log₂log₂n + Θ(1)？
• RQ5 对每个固定的 c ≥ 2，d(n,c) 和 d̲(n,c) 是否渐近为 Θ(log n)？

主要发现

• Abouelaoualim 等人（2007 年）的猜想为假，因为存在最小单色度可任意大但不含正常标号圈的 c-边标号图。
• 建立了不含正常标号圈且最小单色度为 min{p_i} 的递归构造 c-边标号图 G(p₁, ..., p_c)。
• 证明了下界 d(n,c) ≥ (1/c)(log_c n − log_c log_c n)，显著优于此前对 d̲(n,2) 的下界。
• 导出了 d̲(n,2) ≥ (1/2)(log₂n − log₂log₂n)，优于 Gutin、Sudakov 和 Yeo（1998 年）的 (1/4)log₂n 下界。
• 证明了对每个固定的 c ≥ 2，有 d(n,c) = Θ(log n) 且 d̲(n,c) = Θ(log n)，确立了紧致的渐近增长。
• 通过将 c-边标号有向图约化为 2-边标号图，导出了上界 d̲(n,c) ≤ (1/⌊c/2⌋)(log₂n − (1/3)log₂log₂n + Θ(1))。