[论文解读] Note on mod p property of Hermitian modular forms

Toshiyuki Kikuta, Shōyū Nagaoka|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了二度赫尔米特模形式的 theta 算子的 mod p 核，将先前对 Siegel 模形式的研究成果加以拓展。通过使用 Sturm 的界以及 theta 算子作用于模形式的性质，本文证明了某些 Eisenstein 系列、与赫尔米特 Leeche 格相关的 theta 系列，以及赫尔米特 theta 常数满足 Θ(F) ≡ 0 mod p，其中 p 为特定素数。

ABSTRACT

The mod $p$ kernel of the theta operator is the set of modular forms whose image of the theta operator is congruent to zero modulo a prime $p$. In the case of Siegel modular forms, the authors found interesting examples of such modular forms. For example, Igusa's odd weight cusp form is an element of mod 23 kernel of the theta operator. In this paper, we give some examples which represent elements in the mod $p$ kernel of the theta operator in the case of Hermitian modular forms of degree 2.

研究动机与目标

• 将 theta 算子的 mod p 核概念从 Siegel 模形式推广至二度赫尔米特模形式。
• 识别出满足 Θ(F) ≡ 0 mod p 的赫尔米特模形式的显式例子。
• 在 mod p 设置下，建立 Eisenstein 系列、幺模格的 theta 系列以及赫尔米特 theta 常数在 theta 算子作用下的同余结果。
• 应用 Sturm 的界以及 theta 算子的已知变换性质，以验证 mod p 设置下的同余关系。

提出的方法

• 通过 Fourier 展开 F = ∑ a(T)q^T 定义赫尔米特模形式上的 theta 算子为 Θ(F) = ∑ det(T)·a(T)q^T。
• 本文使用已知结论：在 theta 算子作用下，权为 k 的模形式的像模 p 同余于权为 k + p + 1 的尖点形式。
• 应用 Sturm 的界（推论 2.6）通过检查有限个 Fourier 系数来验证同余关系。
• 作者分析了虚二次域 K 的类数为 1 时的二度赫尔米特 Eisenstein 系列 E_{k, K}^{(2)}。
• 计算了高斯整数上赫尔米特 Leeche 格相关 theta 系列的 Fourier 系数，并在模 11 下验证了同余关系。
• 对于赫尔米特 theta 常数，考虑 ψ_{4k} = (1/4)∑_{m∈ℰ} θ_m^{4k}，并验证了 Θ(ψ_8) ≡ 0 mod 7 和 Θ(ψ_12) ≡ 0 mod 11。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些二度赫尔米特模形式属于素数 p 的 theta 算子的 mod p 核？
• RQ2 当 K 的类数为 1 时，权为 p+1 的赫尔米特 Eisenstein 系列 E_{p+1, K}^{(2)} 是否满足 Θ(E_{p+1, K}^{(2)}) ≡ 0 mod p？
• RQ3 赫尔米特 Leeche 格的 theta 系列在 theta 算子作用下是否模 11 同余于零？
• RQ4 赫尔米特 theta 常数 ψ_8 和 ψ_12 是否满足 Θ(ψ_8) ≡ 0 mod 7 和 Θ(ψ_12) ≡ 0 mod 11？
• RQ5 Sturm 的界能否有效用于验证赫尔米特模形式的 mod p 同余关系？

主要发现

• 当 K 的类数为 1 时，赫尔米特 Eisenstein 系列 F_{p+1, K} 满足 Θ(F_{p+1, K}) ≡ 0 mod p。
• 在高斯整数上，赫尔米特 Leeche 格的 theta 系列满足 Θ(ϑ_{ℒ_ℂ}^{(2)}) ≡ 0 mod 11。
• 赫尔米特模形式 ψ_8 = (1/4)∑_{m∈ℰ} θ_m^8 满足 Θ(ψ_8) ≡ 0 mod 7。
• 赫尔米特模形式 ψ_12 = (1/4)∑_{m∈ℰ} θ_m^{12} 满足 Θ(ψ_12) ≡ 0 mod 11。
• ϑ_{ℒ_ℂ}^{(2)} 的 Fourier 系数已计算至迹 6，所有非零系数均已列出并给出其素因数分解。