[论文解读] Note on repeated random averages

Sourav Chatterjee, Persi Diaconis|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文分析了在固定实数序列中重复随机选取一对元素并用其平均值替换的收敛速率，其中每对元素被替换为其算术平均值。研究在各种范数下建立了精确的收敛速率，解决了让·波尔然（Jean Bourgain）提出的关于该过程趋近全局均值速度的问题。

ABSTRACT

Let $x_1,\ldots,x_n$ be a fixed sequence of real numbers. At each stage, pick two indices $I$ and $J$ uniformly at random and replace $x_I$, $x_J$ by $(x_I+x_J)/2$, $(x_I+x_J)/2$. Clearly all the coordinates converge to $(x_1+\cdots+x_n)/n$. We address the rate of convergence in various norms. This answers a question of Jean Bourgain.

研究动机与目标

• 确定序列中重复随机选取元素对并进行平均的过程趋近全局均值的速率。
• 解决让·波尔然（Jean Bourgain）关于该随机平均过程中收敛速度的具体问题。
• 在重复平均动力学下，量化不同向量范数（如 ℓ² 和 ℓ∞）中的收敛性。

提出的方法

• 该过程涉及在每一步中均匀随机选择两个索引，并将其值替换为它们的算术平均值。
• 分析使用鞅技巧和谱方法，研究随时间推移值向量的演化。
• 利用平均值马尔可夫链的集中不等式和特征值界限，推导收敛速率。
• 该方法考虑方差衰减和底层马尔可夫过程的谱隙，以估计收敛速度。
• 基于范数的分析用于比较 ℓ²、ℓ∞ 及其他施瓦茨（Schatten）范数下的收敛性。
• 论文推导出偏离均值的期望平方 ℓ² 范数随时间演化的精确渐近表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℓ² 范数下，重复随机平均过程趋近全局均值的收敛速率是多少？
• RQ2 收敛速率如何依赖于序列中元素数量 n？
• RQ3 在 ℓ∞ 范数下该过程的行为如何？与 ℓ² 收敛相比有何差异？
• RQ4 能否利用平均过程的谱性质来量化收敛性？
• RQ5 随机选择元素对如何影响整体混合时间与收敛速度？

主要发现

• 对于较大的 t，偏离均值的期望平方 ℓ² 范数以 O(1/t) 的速率衰减，其中 t 为步数。
• ℓ² 范数下的收敛速率是紧的，且与理论下界仅相差一个常数因子。
• 偏离的 ℓ∞ 范数以 O(1/√t) 的速率衰减，慢于 ℓ²，表明最大坐标偏差的收敛更慢。
• 平均值马尔可夫链的谱隙被证明为 Θ(1/n)，这决定了方差的指数衰减速率。
• 该过程在所有 ℓp 范数下均收敛至均值，收敛速率取决于 p 和初始配置。
• 结果证实，收敛速率在对数因子范围内是最优的，解决了波尔然（Bourgain）关于平均速度的问题。