[论文解读] Note on stochastic control problems related with general fully coupled forward-backward stochastic differential equations

Juan Li|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 4

一句话总结

本论文研究由一般完全耦合前向-后向随机微分方程（FBSDEs）所支配的随机最优控制问题，其中扩散系数同时依赖于控制变量和后向分量的Z-分量。通过结合广义汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）框架与Z-依赖性的代数方程，作者证明了值函数是关联HJB方程的确定性粘性解，将先前结果推广至扩散系数中同时存在控制与Z-依赖性的普遍情形。

ABSTRACT

In this paper we study stochastic optimal control problems of general fully coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). In Li and Wei [8] the authors studied two cases of diffusion coefficients $σ$ of FSDEs, in one case when $σ$\ depends on the control and does not depend on the second component of the solution $(Y, Z)$ of the BSDE, and in the other case $σ$ depends on $Z$ and doesn't depend on the control. Here we study the general case when $σ$ depends on both $Z$ and the control at the same time. The recursive cost functionals are defined by controlled general fully coupled FBSDEs, then the value functions are given by taking the essential supremum of the cost functionals over all admissible controls. We give the formulation of related generalized Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, and prove the value function is its viscosity solution.

研究动机与目标

• 填补当扩散系数同时依赖于控制与后向分量Z-分量时，完全耦合FBSDEs在随机控制理论中的空白。
• 在存在此类耦合依赖关系的情况下，制定相应的广义汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。
• 在适当的正则性和单调性条件下，证明值函数是所推导HJB方程的粘性解。
• 将Li和Wei（2012）的先前结果进行推广，后者仅考虑了σ仅依赖于控制或Z的情况，但不同时依赖两者。
• 建立动态规划原理并证明值函数在时间上的连续性，基于对完全耦合FBSDEs的先前估计。

提出的方法

• 构建一个涉及前向（X）、后向（Y,Z）过程和控制（u）的一般完全耦合FBSDE系统的随机控制问题，其中系数依赖于X、Y、Z和u。
• 将代价泛函定义为后向过程的初始值Y_t^{t,x;u}，并将值函数定义为所有可允许控制下的Essential上确界。
• 推导出一个广义HJB方程，该方程将值函数W的PDE与变量V(t,x,u) = DW·σ的代数方程耦合，以反映σ中的Z-依赖性。
• 应用Peng的BSDE方法和随机后向半群技术来分析值函数并验证动态规划原理。
• 采用带有代数约束的PDE粘性解理论，对σ及系数施加技术性假设，以确保代数方程解的存在性与唯一性。
• 利用不动点论证和延拓方法证明代数方程解的存在性与唯一性，将Li和Wei（2012）的先前结果加以扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 当前向SDE中的扩散系数σ同时依赖于控制和后向SDE解的Z-分量时，值函数的行为如何？
• RQ2 在此普遍耦合情形下，广义汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的正确形式是什么？它与先前公式有何不同？
• RQ3 当σ同时依赖于u和Z时，是否仍可证明值函数是HJB方程的粘性解？
• RQ4 何种条件可确保由于σ中Z-依赖性而产生的代数方程解的存在性与唯一性？
• RQ5 在这些广义假设下，如何建立动态规划原理及值函数的时间连续性？

主要发现

• 在给定假设下，值函数W(t,x)是确定性的，扩展了简单情形下的关键性质。
• 值函数W(t,x)在时间t上是连续的，该结论通过与Li和Wei（2012）相同的框架建立。
• 值函数W(t,x)是广义HJB方程（3.2）的粘性解，该方程将PDE与V(t,x,u)的代数方程耦合。
• 代数方程V(t,x,u) = DW·σ的解是唯一的，并且可表示为关于h(s, x, y, ζ, u)的Lipschitz连续函数，且在所有变量上一致有界。
• HJB方程以包含漂移、扩散和生成元项的控制上确界形式表述，其中通过σσ^T D²W的迹项体现二阶项。
• 证明依赖于将Li和Wei（2012）的延拓方法和不动点论证扩展至处理σ同时依赖于u和Z的情形。