[论文解读] Note on the harmonic index of a graph

Aleksandar Ilić|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2012

Graph theory and applications参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了图的调和指数的新上下界，推广并简化了Zhong（2012）的早期结果。证明了对于树，调和指数在星图 $S_n$ 处最小化，在路径图 $P_n$ 处最大化，通过度数和不等式与边权比较推导出紧致的解析界。

ABSTRACT

The harmonic index of a graph $G$ is defined as the sum of weights $\frac{2}{deg(v) + deg(u)}$ of all edges $uv$ of $E (G)$, where $deg (v)$ denotes the degree of a vertex $v$ in $V (G)$. In this note we generalize results of [L. Zhong, The harmonic index on graphs, Appl. Math. Lett. 25 (2012), 561--566] and establish some upper and lower bounds on the harmonic index of $G$.

研究动机与目标

• 推广并简化Zhong（2012）先前建立的图的调和指数极值界。
• 在度数和约束下，推导更紧致且更一般的调和指数下界。
• 为树的调和指数建立上界，证明路径图 $P_n$ 实现其最大值。
• 刻画在特定图类（尤其是树）中实现最小与最大调和指数值的极值图。

提出的方法

• 使用调和指数定义：$H(G) = \sum_{uv \in E} \frac{2}{\deg(u) + \deg(v)}$。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，推导下界 $H(G) \geq \frac{2m^2}{M_1(G)}$，其中 $M_1(G)$ 为图的第一Zagreb指数。
• 分析当移除一条权重最小的边时边权的变化，证明 $H(G)$ 严格减小。
• 引入一种树的变换：将某一顶点上的若干悬挂路径重新配置为一条更长的路径，证明调和指数增加。
• 通过路径长 $p$ 与 $q$ 的情况分析，证明当 $p \geq q > 0$ 时有 $H(G(p,q)) < H(G(p+q,0))$，确立路径分布的单调性。
• 递归应用该变换，证明路径图 $P_n$ 在所有树中实现调和指数的最大值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度数和约束下，图的调和指数的最紧可能下界是什么？
• RQ2 当从图中移除一条权重最小的边时，调和指数如何变化？
• RQ3 在所有 $n$ 阶树中，调和指数的最大值是多少？哪类树实现该最大值？
• RQ4 通过将悬挂路径集中于单个顶点，能否使调和指数最大化？与路径分散配置相比有何差异？

主要发现

• 对于任意 $n$ 个顶点、$m$ 条边的连通图 $G$，调和指数满足 $H(G) \geq \frac{2m}{n}$，当且仅当所有边 $uv$ 满足 $\deg(u) + \deg(v) = n$ 时取等。
• 对于 $n \geq 3$ 个顶点的树 $T$，有 $H(T) \geq \frac{2(n-1)}{n}$，当且仅当 $T \cong S_n$（星图）时取等。
• 树的调和指数在路径图 $P_n$ 处达到最大，满足 $H(T) \leq \frac{4}{3} + \frac{n-3}{4}$，且当且仅当 $T \cong P_n$ 时取等。
• 当 $n \geq 7$ 时，树中第二大的调和指数由一个中心度为3的顶点连接三条路径构成的树实现，其中 $a \geq b \geq c > 1$。
• 通过在顶点处拆分或合并悬挂路径的变换，调和指数严格增加，证明路径集中化可使指数最大化。
• 当移除一条权重最小的边时，调和指数严格减小，证实其在边移除下的单调性。