[论文解读] Note on the tensor product of dendroidal sets

Denis-Charles Cisinski, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过树上洗牌与高度函数的组合分析，证明了当至少一个因子为开树形集合时，树形集合的张量积保持正常单射。关键结果表明，树形集合上的操作模型结构在约阿伊尔模型结构下的单纯集上是富集的，且其在开树形集合上的限制是对称单峰的，从而解决了高阶代数结构与操作同伦理论中的基础性问题。

ABSTRACT

In our paper "Dendroidal sets as models for homotopy operads" (J. Topol. 4 (2011), no. 2, 257-299, and arXiv:0902.1954), we made the wrong claim about the behaviour of the tensor product with respect to cofibrations of dendroidal sets. We added an erratum at the end of the arXiv version of loc. cit. This short note contains the proof of a technical lemma used in the erratum.

研究动机与目标

• 通过证明张量积保持正常单射，解决树形集合上操作模型结构的基础性问题。
• 建立操作模型结构在约阿伊尔模型结构下的单纯集富集性。
• 证明操作模型结构在开树形集合上的限制是对称单峰的。
• 为先前树形集合研究中使用的关键技术引理提供更正且详尽的证明。

提出的方法

• 利用从 $[n] \otimes T$ 到单射的双射对应关系，其中 $u: S \to T$ 是 $T$ 的一个面，$h$ 是 $S$ 上的单调高度函数。
• 将 $[n] \otimes T$ 中的树形映射编码为单纯集 $[n]$ 与树 $T$ 的洗牌，高度函数将边映射到 $\{0, \dots, n\}$。
• 应用洗牌引理分析洗牌的面，表明面的交集对应于底层树与高度函数的交集。
• 通过开树与开树形集合（开树的列紧）引入开树与开树形集合的概念，利用归纳法将结果推广。
• 基于移除边或顶点（包括根顶点与顶点）的情况进行分析，区分光头顶点与非光头顶点。
• 证明 $S \otimes T$ 中面的交集对应于因子中的交集，依赖于洗牌中某些颜色（标签）的缺失。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个因子为开树形集合时，树形集合的张量积是否保持正常单射？
• RQ2 单射 $[n] \otimes T$ 如何分解为 $[n]$ 与 $T$ 的面？
• RQ3 $[n] \otimes T$ 中洗牌的组合结构是什么，它如何刻画单射？
• RQ4 在什么条件下有 $S \otimes \partial_y T \cap S \otimes \partial_z T = S \otimes (\partial_y T \cap \partial_z T)$ 成立？
• RQ5 能否证明树形集合上的操作模型结构在限制到开树形集合时为对称单峰？

主要发现

• 通过高度函数对应关系，已确立对所有 $n \geq 0$ 和 $T \in \Omega$，映射 $(\partial\Delta[n] \otimes \Omega[T]) \cup (\Delta[n] \otimes \partial\Omega[T]) \to \Delta[n] \otimes \Omega[T]$ 是正常单射。
• 单射到 $[n] \otimes T$ 与配对 $(u: S \to T, h)$ 之间存在双射，其中 $u$ 是 $T$ 的一个面，$h$ 是 $S$ 上的单调高度函数。
• $\partial_i[n] \otimes T \cap \partial_j[n] \otimes T$ 等于 $(\partial_i[n] \cap \partial_j[n]) \otimes T$，且类似恒等式对 $[n] \otimes \partial_x T$ 与混合交集也成立。
• 对于开树 $S$ 与 $T$，包含映射 $S \otimes \partial T \cup_{\partial S \otimes \partial T} \partial S \otimes T \to S \otimes T$ 是单射，因此是正常单射。
• 开树形集合之间正常单射的张量积仍为正常单射，从而确认了开树形集合范畴上的对称单峰结构。
• 通过一个包含光头顶点与非光头顶点的非开树的反例，展示了非开树情况下洗牌引理的失效。