[论文解读] Note on transformation to general curvilinear coordinates for Maxwell's curl equations

Dzmitry M. Shyroki|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2003

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过重新定义介电张量和磁导率张量，在一般曲线非正交坐标系中提出了麦克斯韦旋度方程的修正公式，使在标准笛卡尔网格上实现精确的时域有限差分（FDTD）模拟成为可能。其主要贡献在于解决了先前在场量变换定律中存在的物理不一致性，从而提升了复杂几何结构电磁建模的精度。

ABSTRACT

Maxwell's curl equations are formulated in curvilinear non-orthogonal coordinates in three dimensions in a manner that enables to preserve conventional Cartesian mesh for the finite-difference schemes by means of mere redefinition of the permittivity and permeability coefficients. It is highlighted that in the previous works on this subject [Ward and Pendry 1996 J. Modern Opt. 43 773; 1998 Phys. Rev. B 58 7252] inaccurate transformation to curvilinear coordinates, rooted in questionable transformation laws assigned to electric and magnetic field vectors, led to physical dubiety of the final formulae. In this note the amended equations are presented, capable of being easily adopted for the accurate finite-difference time-domain (FDTD) modelling of electromagnetic propagation and scattering problems in complicated geometries within the existing computational codes.

研究动机与目标

• 解决先前将麦克斯韦方程组转换至曲线坐标系时存在的物理不一致性问题。
• 解决早期研究中对电场和磁场矢量应用错误变换定律所导致的精度问题。
• 通过现有笛卡尔网格计算代码，实现复杂几何结构中电磁波传播与散射的高保真FDTD模拟。
• 在准确模拟非正交曲线坐标系的同时，保持笛卡尔有限差分模板的简洁性。
• 为任意几何结构中的电磁建模提供数学上严谨且计算上实用的框架。

提出的方法

• 通过修正场矢量的变换方式，在三维一般曲线非正交坐标系中重新表述麦克斯韦旋度方程。
• 重新定义介电张量和磁导率张量，以吸收几何效应，同时保持标准笛卡尔有限差分模板不变。
• 采用一致的电场和磁场变换定律，避免了先前方法中存在的物理不一致性。
• 确保所得方程与现有FDTD算法兼容，无需进行网格重构。
• 推导出修改后的本构关系，以在坐标变换下保持正确的物理行为。
• 通过证明该方法与标准FDTD时间推进格式和边界条件兼容，验证了其有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 先前曲线坐标系中麦克斯韦方程组的场变换定律存在哪些物理不一致性？
• RQ2 如何在不改变底层笛卡尔有限差分网格的前提下，将麦克斯韦方程组重新表述于一般曲线坐标系中？
• RQ3 为在非正交坐标系中保持精度，介电张量和磁导率张量需要进行何种修改？
• RQ4 能否在任意曲线坐标系中实现一致且物理上有效的电磁场变换？
• RQ5 在采用此修正方法时，现有FDTD代码在复杂几何结构模拟中可复用的程度如何？

主要发现

• 本文指出，Ward和Pendry早期的工作在电场和磁场的变换定律上存在缺陷，导致所得方程中出现物理不一致。
• 修正后的公式确保了变换后的麦克斯韦方程组在曲线坐标系中保持物理有效性和与电磁理论的一致性。
• 通过重新定义介电张量和磁导率张量，该方法可在标准笛卡尔网格上实现精确的FDTD模拟，无需网格变形。
• 该方法使现有FDTD软件仅需极少修改，即可用于复杂几何结构中电磁波传播与散射的建模。
• 该公式与标准FDTD时域求解器兼容，且在结构化笛卡尔网格上保持数值稳定性和精度。
• 该方法为在任意几何结构中模拟电磁现象提供了实用路径，避免了非结构化或贴体网格带来的计算负担。