[论文解读] Notes about extended real- and set-valued functions

Andreas H. Hamel, Carola Schrage|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2010

Advanced Algebra and Logic参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过使用剩余幺半群和共线性空间，为扩展的实值与集值函数构建了一个统一的代数与序理论框架，实现了对方向导数、次微分以及Legendre–Fenchel共轭的一致定义，即使对于非正常函数也适用。其关键贡献是一个对称且完备的对偶理论，通过引入一个辅助实变量的新共轭定义，将共轭与下确界卷积扩展至包含非正常元素的情形。

ABSTRACT

An order theoretic and algebraic framework for the extended real numbers is established which includes extensions of the usual difference to expressions involving $-\infty$ and/or $+\infty$, so-called residuations. Based on this, definitions and results for directional derivatives, subdifferentials and Legendre--Fenchel conjugates for extended real-valued functions are given which admit to include the proper as well as the improper case. For set-valued functions, scalar representation theorems and a new conjugation theory are established. The common denominator is that the appropriate image spaces for set-valued functions share fundamental structures with the extended real numbers: They are order complete, residuated monoids with a multiplication by non-negative real numbers.

研究动机与目标

• 通过建立严格的代数基础，解决在变分分析中处理扩展实值函数时出现的不一致问题，特别是表达式 $+\infty - \infty$ 的问题。
• 利用对称的代数结构，将方向导数、次微分与Fenchel共轭扩展至非正常的凸函数与凹函数。
• 通过将像空间建模为有序完备、剩余的共线性空间，为集值函数发展一种新的共轭理论。
• 通过在共轭定义中引入一个辅助实变量，统一标量与集值共轭对偶性，确保即使在非正常函数情况下也保持一致性。
• 证明在新框架下，下确界卷积的共轭等于其共轭的上确界卷积。

提出的方法

• 在 $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}$ 上引入一个有序完备、剩余的幺半群结构，以定义代数运算（包括剩余运算），从而处理如 $+\infty - (-\infty)$ 等表达式。
• 为对称地建模凸函数与凹函数，定义了 $\overline{\mathbb{R}}$ 的两个不同的代数副本，其中乘以 $-1$ 操作诱导出对偶性。
• 提出一种改进的Legendre–Fenchel共轭，引入额外的实变量，使得共轭可定义在仿射函数上，而不仅限于线性函数。
• 通过将集值函数的像空间建模为具有有序完备性与剩余性的共线性空间，将该框架应用于集值函数，从而实现标量表示定理。
• 利用扩展的共轭定义一种新的下确界卷积形式，并证明其共轭等于其共轭的上确界卷积。
• 通过共轭建立闭凸包：对于 $g: X \to Q^{\triangle}$，有 $g^{**} = \text{cl co } g$，若 $g$ 闭且凸，则 $g^{**} = g$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一致的算术框架，解决在变分分析中 $+\infty - \infty$ 的代数不一致问题？
• RQ2 能否利用对称的代数结构，一致地定义非正常凸函数与凹函数的方向导数与次微分？
• RQ3 非正常函数的Fenchel共轭的正确推广是什么？它如何保持对偶性？
• RQ4 如何为集值函数赋予一种类似于标量共轭的共轭理论？其背后的代数结构是什么？
• RQ5 在新框架下，两个函数下确界卷积的共轭是否等于其共轭的上确界卷积？

主要发现

• 本文通过引入 $\overline{\mathbb{R}}$ 的两个代数上不同的副本，为扩展实值函数建立了一个完整且对称的对偶理论，实现了对非正常函数的一致处理。
• 通过引入辅助实变量定义的改进Legendre–Fenchel共轭，确保即使 $g$ 为非正常函数，闭凸函数仍满足 $g^{**} = g$。
• 证明了下确界卷积 $f \square g$ 的共轭等于 $f^*$ 与 $g^*$ 的上确界卷积，该结果在标准定义下不成立，除非包含非正常元素。
• 对于集值函数，其像空间 $Q^{\triangle}$ 被建模为具有剩余性的有序共线性空间，从而实现标量表示定理与新的共轭理论。
• 集值函数的闭凸包满足 $g^{**} = \text{cl co } g$，若 $g$ 闭且凸，则 $g^{**} = g$，该结果推广了标量情形。
• 该框架通过证明像 $(f \square g)^* = f^* + g^*$ 这类陈述需要在左侧与右侧使用不同的加法运算，从而解决了文献中长期存在的模糊性问题，且这些运算现已被严格定义。