[论文解读] Notes on affine isometric actions of discrete groups

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 1997

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文研究离散群的仿射等距作用，特别是 $SL_2(\mathbb{R})$、$SO(1,n)$、$SU(1,n)$ 和 $SL_2(\mathbb{Q}_p)$ 中的格。证明了在全群上不可约的仿射等距作用，其限制到格后仍保持不可约；并通过格在 $\mathbb{R}$-树上的作用构造了规范的不可约仿射等距作用，从而得到以汤川边界点为参数的黎曼曲面微分同胚群的新表示。

ABSTRACT

Consider a lattice $Γ$ in a group $G = SL_2(\R), SO(1,n), SU(1,n)$, $SL_2(\Q_p)$. We discuss actions of $Γ$ by affine isometric transformations of Hilbert spaces. We show that for irreducible affine isometric action of $G$ its restriction to $Γ$ is irreducible. We prove the existence of canonical irreducible affine isometric actions of $Γ$ associated to actions of $Γ$ on $\R$- trees. Using such actions we construct irreducible representations of semigroup of probabilistic measures on $Γ$ and construct the series of representations of the groups of diffeomorphisms of Riemann surfaces enumerated by the points of Thurston compactification of Teichmüller (Teichmuller) space.

研究动机与目标

• 理解半单李群中离散子群（格）的仿射等距作用的结构。
• 建立当全群的不可约作用限制到格时仍保持不可约的条件。
• 利用格在 $\mathbb{R}$-树上的作用，构造格的规范不可约仿射等距作用。
• 将这些构造应用于生成格上概率测度半群的新酉表示。
• 将这些表示扩展到黎曼曲面微分同胚群，参数化方式基于汤川紧化中的点。

提出的方法

• 分析李群 $G = SL_2(\mathbb{R}), SO(1,n), SU(1,n), SL_2(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约仿射等距作用限制到其格 $\Gamma$ 的情形。
• 利用 $\mathbb{R}$-树的几何性质，构造 $\Gamma$ 的规范仿射等距作用。
• 应用希尔伯特空间上等距作用的理论，推导 $\Gamma$ 上有限测度的半群的酉表示。
• 利用 $\Gamma$ 在 $\mathbb{R}$-树上的动力学定义边界作用，并扩展表示。
• 利用汤川紧化中的 Teichmüller 空间参数化微分同胚群的表示。
• 运用无限维李群理论与几何群论的技术，分析这些表示的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，李群 $G$ 的不可约仿射等距作用在限制到子群格 $\Gamma \subset G$ 时仍保持不可约？
• RQ2 能否从格 $\Gamma$ 在 $\mathbb{R}$-树上的作用构造其规范不可约仿射等距作用？
• RQ3 格在 $\mathbb{R}$-树上的作用如何导出 $\Gamma$ 上概率测度半群的酉表示？
• RQ4 Teichmüller 空间的汤川紧化在参数化微分同胚群表示中起什么作用？
• RQ5 能否利用希尔伯特空间上的仿射等距作用构造如微分同胚群等无限维群的新表示？

主要发现

• 将 $G = SL_2(\mathbb{R}), SO(1,n), SU(1,n), SL_2(\mathbb{Q}_p)$ 的不可约仿射等距作用限制到格 $\Gamma$ 后，其仍保持不可约。
• 通过格在 $\mathbb{R}$-树上的作用，构造了格的规范不可约仿射等距作用。
• 这些构造产生了 $\Gamma$ 上有限测度半群的不可约酉表示。
• 本文构造了黎曼曲面微分同胚群的连续表示族，其参数为 Teichmüller 空间汤川紧化中的点。
• 这些表示通过希尔伯特空间上的仿射等距作用实现，将几何群论与无限维表示论联系起来。
• 结果在 $\mathbb{R}$-树上的动力系统、曲面上的几何结构与微分同胚群的表示论之间建立了桥梁。