[论文解读] Notes on bimonads and Hopf monads

Bachuki Mesablishvili, Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 41

一句话总结

本文证明了在张量范畴上，右预霍普夫单子等价于伽罗瓦纠缠，从而推广了经典霍普夫代数理论。它表明，一个在柯西完备范畴上的双单子成为霍普夫单子当且仅当其融合算子是可逆的，并在笛卡尔张量范畴中构造了反例，说明预霍普夫结构并不导致范畴等价。

ABSTRACT

For a generalisation of the classical theory of Hopf algebra over fields, A. Bruguières and A. Virelizier study opmonoidal monads on monoidal categories (which they called {\em bimonads}). In a recent joint paper with S. Lack the same authors define the notion of a {\em pre-Hopf monad} by requiring only a special form of the fusion operator to be invertible. In previous papers it was observed by the present authors that bimonads yield a special case %Hopf monads may be considered as a special case of an entwining of a pair of functors (on arbitrary categories). The purpose of this note is to show that in this setting the pre-Hopf monads are a special case of Galois entwinings. As a byproduct some new properties are detected which make a (general) bimonad on a Cauchy complete category to a Hopf monad. In the final section applications to cartesian monoidal categories are considered.

研究动机与目标

• 澄清在余模态单子的背景下，预霍普夫单子与伽罗瓦纠缠之间的关系。
• 识别在柯西完备范畴上，双单子成为霍普夫单子的新充分条件。
• 研究尽管具有预霍普夫结构，比较函子在笛卡尔张量范畴中为何不构成等价。
• 将经典霍普夫代数的基底定理推广至纠缠函子与伽罗瓦理论的设定。
• 提供反例，表明在笛卡尔设定中，预霍普夫结构并不蕴含范畴等价。

提出的方法

• 作者使用单子与余单子之间的纠缠函子框架，特别关注与双单子 $T$ 关联的余单子 $-\otimes T(\mathbb{I})$。
• 他们应用 [10] 中的伽罗瓦纠缠理论，刻画右预霍普夫单子在何时通过比较函子诱导出基范畴与 $T$-模范畴之间的等价。
• 关键技术工具是构造比较函子 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ 并分析其本质满射性与全忠实性。
• 他们利用群元态射 $g: \mathbb{I} \to C$ 的存在性，将余单子结构从 $C$ 提升到 $T(C)$，从而定义模范畴与余模范畴之间的函子。
• 论文应用 [3] 和 [11] 的结果，细化融合算子诱导等价性的条件。
• 通过幂集单子 $\mathcal{P}$ 及其限制 $\mathcal{P}^+$ 构造反例，表明即使满足预霍普夫条件，比较函子仍不构成等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在张量范畴上，右预霍普夫单子在何种条件下通过比较函子诱导出基范畴与 $T$-模范畴之间的等价？
• RQ2 在柯西完备范畴上，双单子 $T$ 的何种条件可确保其为霍普夫单子？
• RQ3 在单子为预霍普夫的情况下，比较函子 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ 在何种条件下成为等价？
• RQ4 为何在 $\text{Set}$ 等笛卡尔张量范畴中，比较函子不构成等价，即使单子是右预霍普夫？
• RQ5 在余单子意义下，何时群元态射 $g: \mathbb{I} \to C$ 是同构，以及这如何影响模范畴与余模范畴之间诱导函子的性质？

主要发现

• 右预霍普夫单子正是那些其关联纠缠为 $G_{T(\mathbb{I})}$-伽罗瓦的单子，从而在基范畴与 $T$-模范畴之间建立范畴等价。
• 在柯西完备范畴上的双单子成为霍普夫单子当且仅当其左、右融合算子均为同构。
• 尽管 $T_u$ 是右预霍普夫，比较函子 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ 在集合层范畴上的单子 $T_u$ 上不构成等价。
• 对于幂集单子 $\mathcal{P}$，比较函子 $\overline{i}: \textbf{ACSLat} \to (\textbf{CSLat} \downarrow \mathtt{2})$ 不构成等价，尽管 $\mathcal{P}^+$ 是右预霍普夫。
• $\mathcal{P}$ 上的函子 $i_*i^*$ 在完备半格上增加了一个新的最小元素，且余单子态射 $S_{\overline{i}}$ 不是同构，表明 $1_{\mathtt{1}}$ 对 $\mathcal{P}$ 不是伽罗瓦群元。
• 比较函子 $\overline{i}$ 是全忠实的且具有右伴随，但不构成等价，表明在笛卡尔设定中，预霍普夫结构并不蕴含范畴等价。