[论文解读] Notes on data-driven output-feedback control of linear MIMO systems

Mohammad Alsalti, Victor G. Lopez+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2023

Control Systems and Identification被引用 5

一句话总结

本文通过直接从输入-输出数据构造一种替代的非最小状态向量，解决了MIMO线性时不变（LTI）系统中数据驱动的输出反馈控制问题。通过基于数据的方法重新定义状态，该方法确保满足稳定控制器设计所必需的关键秩条件，从而可直接将状态反馈控制技术应用于MIMO系统中的输出反馈问题。

ABSTRACT

Recent works have approached the data-driven design of dynamic output-feedback controllers for discrete-time LTI systems by constructing non-minimal state vectors composed of past inputs and outputs. Depending on the system's complexity (order $n$, lag $\ell$ and number of outputs $p$), it was observed in several works that such an approach presents significant limitations. In particular, many works require to restrict the class of LTI systems to those satisfying the relation $p\ell=n$. In this note, we show how to address the general MIMO case (for which $p\ell\geq n$ in general) by constructing an alternative non-minimal state vector from data. Different from the existing literature, our method guarantees the satisfaction of certain rank conditions when the system is persistently excited, thereby facilitating the direct data-driven dynamic output-feedback control of MIMO systems by applying methods that were originally developed for the input-state data setting.

研究动机与目标

• 识别并阐明现有MIMO LTI系统数据驱动输出反馈控制方法的局限性，特别是当使用由过去输入和输出组成的标准非最小状态时，关键秩条件的失效问题。
• 解决标准非最小状态构造导致数据矩阵秩亏的问题，这会破坏MIMO系统中稳定控制器的设计。
• 提出一种直接从输入-输出数据导出的替代非最小状态向量，以保证控制器设计所必需的秩条件。
• 通过这种新的基于数据的状态表示，实现将现有状态反馈控制技术（如稳定化、最优或鲁棒控制）直接应用于MIMO系统的输出反馈问题。
• 将数据驱动控制方法的适用范围扩展至此前文献中所要求的严格 $p\ell = n$ 条件之外。

提出的方法

• 构建非最小状态向量 $ z_t = \begin{bmatrix} u_{[t-\ell,t-1]} \\ \overline{\Theta} y_{[t-\ell,t-1]} \end{bmatrix} $，其中 $ \overline{\Theta} $ 通过数据矩阵的奇异值分解与保持秩的变换获得。
• 利用持续激励的输入-输出轨迹构建数据矩阵 $ H $，使其能够张成输入-输出轨迹空间，确保结构特性得以保留。
• 对含噪声的数据矩阵应用奇异值分解（SVD），以恢复噪声无关数据矩阵的低秩近似 $ \widehat{H} $，保留最大的 $ m(\ell+1) + n $ 个奇异值，以保持所需秩。
• 对SVD分量进行划分，提取变换矩阵 $ \overline{\Theta} $，将过去输出映射到更高维状态空间，确保线性无关性与秩保持。
• 基于新定义的非最小状态 $ z_t $ 制定控制器设计，使现有数据驱动状态反馈控制方法（如文献[5, 6, 8, 9]中的方法）可直接应用于输出反馈场景。
• 确保所得数据矩阵满足关键秩条件 $ \text{rank}(H) = m(\ell+1) + n $，该条件对控制器可解性与稳定性保证至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何基于过去输入和输出的标准非最小状态构造在MIMO LTI系统中无法满足必要的秩条件？
• RQ2 MIMO系统的何种结构特性导致在使用传统基于数据的状态向量时，秩条件被违反？
• RQ3 能否从输入-输出数据中构造一种替代的非最小状态向量，使得控制器设计所需的秩条件得以满足？
• RQ4 如何处理含噪声的数据，以在数据驱动输出反馈控制中保持所需秩结构？
• RQ5 在所提出的非最小状态基础上，现有数据驱动状态反馈控制技术在多大程度上可被适配用于输出反馈控制？

主要发现

• 基于过去输入和输出的标准非最小状态构造在MIMO系统中无法满足所需的秩条件 $ \text{rank}(H) = m(\ell+1) + n $，尤其当 $ p\ell > n $ 时，导致控制器设计模糊不清。
• 所提出的替代非最小状态向量可确保控制器设计中使用的数据矩阵达到满秩 $ m(\ell+1) + n $，满足稳定控制器综合的必要条件。
• 通过在含噪声数据上应用基于SVD的逼近方法，该方法恢复出一个低秩估计 $ \widehat{H} $，其秩为 $ m(\ell+1) + n $，在保持设计可行性的同时增强了对测量噪声的鲁棒性。
• 从数据矩阵构造 $ \overline{\Theta} $ 允许将过去输出有效映射为保持线性无关性的状态向量，从而支持控制器设计。
• 该方法可直接将状态反馈控制技术（如最优或鲁棒控制）应用于MIMO系统的输出反馈问题，而无需进行显式系统辨识。
• 该方法克服了文献中此前施加的严格 $ p\ell = n $ 条件，将适用范围扩展至一般MIMO系统，其中 $ p\ell \geq n $。